このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
22回目の今回は1997年になります。
第1問
空間上の点と直線との距離の問題です。
Pをパラメータ表示し、x軸との距離を計算して平方完成で最小値を調べる、それだけの問題です。はっきり言って教科書の章末問題レベルの簡単な問題ですね。
＜筆者の解答＞
第2問
積分方程式の問題です。
(1)右辺はtに関する積分なので、展開してxを外に出してしまえば残った積分はただの定数となります。結果右辺がxの３次式になり、両辺をxで微分すればf(x)はxの２次式だと分かります。
(2) (1)で決めたtの積分による定数たちを確定させていきます。f(x)の式を、定数を定義する積分たちに放り込んであげましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
部屋の移動に関する確率の問題です。
この問題では、最初にAにいた３人の行方だけ注目すればいいので、残りの６人には興味がありません。Aにいた３人をa~cと名前を付けて、３日かけてa,b,cがこの順番にAから退室して、再度Aに入らないような移動の仕方を場合分けして考察していきます。
最後に、a→b→cの退室順はこちらが勝手に決めたものなので、6倍してそれを解消してあげることを忘れずに。
＜筆者の解答＞
第4問
等差数列×等比数列のΣの極限を計算する問題です。正直、誘導なしでいきなり(3)が解けないといけないと思います。東北大受験者であれば。
(1) 問題文に断りがなくても、この手の証明では数学的帰納法が定石です。今回は、やってみると分かるのですが、仮定の部分でkを2以上にしないとうまく証明できません。なので、最初の部分の証明でn=1,2のときの証明を別にやっておく必要があります。
(2)式自体は見慣れないですが、やってることは教科書レベルです。このタイプのΣ計算では、公比を１回かけて差をとるのが定石となります。
(3) (2)の右辺の１項目は等比数列の和なので直接極限を計算できますし、２項目は0に収束することはすぐにわかります（ (1)を使ってはさみうちに持ち込めば証明できます）。
＜筆者の解答＞
第5問
三角形の面積を最大化する問題です。
(1) PQベクトルとPRベクトルを調べればSは即座に計算できます。ここで、Pを始点に取っておけば、絶対値を外すときに悩むポイントがなくなるのでミスが防げます。
(2) 一見するとSは３変数の関数に見えますが、X=b-a, Y=c-bと変換するとc-a=X+Yとなるので、実質２変数関数にできます。X,Yの存在領域に注意して、予選決勝法に持ち込んであげます。
＜筆者の解答＞
第6問
グラフの概形と回転体の体積を調べる問題です。
(1) 微分して符号を調べてあげればよいでしょう。
(2) テンプレ通りに積分計算します。√の中身がやや複雑なので、中身を丸ごと１つの文字に変換してあげるとスムーズに計算できるでしょう。
＜筆者の解答＞
