東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2013年の問題を取り上げます。
第1問
2つの3次方程式の解についての問題です。
(1)f(x)=0とg(x)=0の双方から解と係数の関係が出てきますので、それを使ってg(x)の各係数を求めていきます。
(2)まず共通解は、f(x)=g(x)を満たしていないといけないので、ここからxの候補が求まります。このときkが0か否かで状況が変わるので、場合分けし考えます。
＜筆者の解答＞
第2問
四面体の体積を求める問題です。
(1)CHが、aベクトルとbベクトルの両方と垂直になることを利用します。
(2)CHベクトルが求まれば、長さも求まります。
(3)CHが高さなので、あとは底面となる△OABの面積が分かればよいです。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
(1)A⇒B⇒Aと番が回るので、Bは5以下でないといけません。このとき、Aが1回目にkを出したとき、2回目に6-k以上を出せばいいわけです。
(2)A⇒B⇒A⇒Bと番が巡るので、Aの1回目：k, Aの2回目：5-k以下、Bの1回目: L, Bの2回目：6-L以上となればよいです。
(3)Aが3回投げても合計が5以下になるような出方を調べます。Bについても全く同様です。
＜筆者の解答＞
第4問
積分の極限を求める問題です。
(1)一見計算できなさそうですが、t=sinθと変換するとうまく計算できる形になります。
(2)bnの中にあるcosθだけ動かして考えます。
(3) (1), (2)を使うとはさみうちの定理に持ち込めます。
＜筆者の解答＞
第5問
行列の漸化式についての問題です。(3)の工程が長く大変な問題です。
(1) Aが135°回転を表す行列だと気づけると、楽に計算できます。このことから、A^nは周期8で同じ行列になることが分かります。この事実を(3)でふんだんに使います。
(2)は、数列の漸化式の行列バージョンです。考え方は普通の数列の場合と全く同じです。特性方程式を解いて、それを使って等比数列型に持ち込むという方法論です。
(3)はやること自体は難しくないのですが、A^nの値によって8通りの総当たり調査を強いられるため、大変な問題となっています。
発想は、(2)の行列を計算することで、(xn, yn)を計算し、その大きさを求めるという単純なもののはずなのですがね。。。計算ミスが怖いです。
＜筆者の解答＞
第6問
体積を求める問題です。
(1)は誘導に従って、断面を考察しましょう。断面が台形になるか、三角形になるかで状況が変わります。
(2) S(t)を積分すればよいです。
＜筆者の解答＞
