東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2013年の問題を取り上げます。
第1問
2曲線の接線についての問題です。
(1)L1の式を求めてグラフに描くことで、面積を計算できます。
(2)L1とL2(=PでのC2の接線）の傾きから、tanの加法定理を使ってtanθが計算できます。
＜筆者の解答＞
第2問
四角錐を題材にした図形問題です。与えられている内積が、OAベクトル、OCベクトル、OPベクトルとなっているので、この3本のベクトルを基準にしてすべての点を表現する方向で考えていきましょう。
最後に求まるBQ: QCについては、Qが外分点となるので少しややこしいです。こんな場合は、図に落として考えると分かりやすいです。
＜筆者の解答＞
第3問
左からひっくり返す、右からひっくり返すという動作を交互に行う、確率の問題です。
(1)操作Lを行うとき、左端のコインは必ず裏返るので、Lを2回行うと左端のコインが必ず表になります。よって、表になるのが左端の1枚だけになる場合を考えればよいです。
(2)LとRを交互に行うときは、真ん中付近のコインが何回裏返るかによって状況が変わってくるので、Lで裏返る枚数とRで裏返る枚数によって場合分けをしましょう。
これによって、表になる枚数を整理して確率の表としてまとめましょう。
(3)すべてのコインが表になる時、各コインについて裏返る回数が偶数回になります。
これによって、1回目のLによってk枚、2回目のRによってl枚、3回目のLによってm枚裏返るとしたときに、k,l,mの値に大きな制約が加わることになります。
これらについて個別に調べましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
回転体の体積の問題です。
(1)は、Dが必ず直線OB上にあることに気付けると処理がかなり楽になります。
(2)は、テンプレの体積計算ですが、きちんと直線Lからの距離を使って計算しないといけません。
＜筆者の解答＞
第5問
行列の問題です。計算処理が中々にしんどい問題です。
(1)は、いきなりでてくる3x-3y-2tという式に戸惑いますが、この正体は計算をしているうちに分かります。
愚直に(AB)^2を計算すると、0になるべき式を処理すると、(3x-3y-2t)×△ =0という関係式が出てきます。この方程式の両辺が3x-3y-2で割れるか割れないかで状況が変わるというカラクリなのでした。
(2)3x-3y-2t≠0と仮定すると矛盾が生じることを示します。
(1)の結果から、ケーリーハミルトンの定理を使うとA^2 =t^2×Eとなり、これを2乗すればA^4 =t^4×E となります。このとき、A^4 = EだがA^2 ≠ Eとなる状況が作れないので矛盾ということになります。
(3)3x-3y-2t＝0の下で、A^4 = EかつA^2 ≠ Eとなる条件を調べていきましょう。
(4) (3)の結果から、x,yが整数になるためには、tは3の倍数であり、かつ3の約数でないといけないと分かります。よって、t=3, -3に限られるので、個別にチェックしましょう。
＜筆者の解答＞
