東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2012年の問題を取り上げます。
第1問
一次変換の問題です。
基本的には、条件イ、ロ、ハを満たすようなa~dを求めることに終始します。
(x, y)が(x', y')に移るとした場合のx,y,x',y'の関係式を求めていきます。
(1)のkの範囲は、一瞬なんのこっちゃ？という感じですが、kがある範囲にないとa~dが実数にならないということが、解いているうちに分かっていきます。
＜筆者の解答＞
第2問
三角関数の方程式に関する問題です。
(1) f(θ)をすべてsinθの式に直せばよいですね。正直、北大レベルなら(1)の小問なしでいきなり(2)からでも何ら支障はないと思います。x = sinθの変換は、それくらい自然に思いつくべき方法です。
(2)f(θ)がxの3次式g(x)となるので、この関数の-1≦x≦1における最大最小を考えましょう。
(3)-π/2≦θ≦π/2のときは、xが決まるとθも一通りに決まります。よって、f(θ)=0を満たすθの個数と、g(x)=0 を満たすxの個数は等しくなります。
＜筆者の解答＞
第3問
極限の問題です。
(3)の答えだけなら、大学数学の「ロピタルの定理」という禁じ手を使えば簡単に求まってしまいますが、それを使わずあくまで高校数学の範囲で求める問題となっています。誘導が非常に丁寧ですので、うまく乗っかっていきましょう。
(1)は教科書レベルの証明問題です。差を取って微分しましょう。
(2) (1)の式にxをかけて積分をとれば求まります。
(3) (2)の中辺の積分の計算を実行すると、うまい具合にはさみうちの定理が使える形になります。
＜筆者の解答＞
第4問
2本の2次不等式が共通解を持つ条件を求める問題です。これは、条件処理の煩雑な難問です。(1)は確実に押さえ、(2)まではなんとか頑張りたいところ。(3)は後回しでOKです。
(1)は、f(x)=g(x)を解くだけですので簡単です。
(2) f(x)とg(x)のグラフを描くと、両者はx=cで交わるので、f(c)が負であればf(x)<0かつg(x)<0の共通解があることが分かります。
(3)とりあえず、f(x)<0とg(x)<0の解をそれぞれ計算して、両者がラップする条件を考えます。
結局a+√(a^2-b) > b - √(b^2 - a) が条件となり、これを計算すると
√○○ >△△の形になるのですが、△△が正か負かで状況が変わるので場合分けが必要です。これに、そもそも判別式>0の条件も加わるので、考えるべき関数の数が多く、グラフに落とし込むときに混乱すること必至です。
＜筆者の解答＞
第5問
k勝した方が優勝する日本シリーズもどきを題材とした確率の問題です。
全体を通じて、各試合の勝者を順番に並べてみて考えるのが良いと思います。
(1)-(3)は全て同じ解き方です。最後の勝者がAとなり、それまでにBが何回勝つかで場合分けして考えるとよいです。
(4)は、(2), (3)の結果を引き算すると、微分をせずとも大小関係が簡単に分かる形が出てきます。
＜筆者の解答＞
