東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2011年の問題を取り上げます。
第1問
体積の問題です。
(1)Ksはバウムクーヘンのような形になります。V(s)は3次関数なので、その最大最小を微分を使って調べます。
(2)Ksを平面y=tで切った断面を回転させます。tの値によっては間に空洞ができることに注意します。
＜筆者の解答＞
第2問
行列を題材にした確率の問題です。
この問題の設定では、逆行列を持たないのは、1つの行または列の数字がすべて0になることです。
もし一つの成分以外がすべて0なら、斜めの数字が0でなくなれば逆行列を持つようになり、1つの行（列）が0でそれ以外が0でないなら、片方の0が0でなくなれば逆行列を持つようになります。
このことを念頭に置いて、A1,・・・, An-1がすべて逆行列を持たず、Anが逆行列を持つような、行列の作り方を考えていきます。
＜筆者の解答＞
第3問
一定の比を満たす点の存在条件を考える問題です。(2)が非常に条件処理が煩雑で長い難問です。
(1)は、P(x,y)として、AP=aOPを変形していきます。aが1か否かで場合分けが発生します。
(2)問題文は、AP=aOPかつBP=bOP となるPが存在する条件なので、(1)で求まったPの軌跡と、同様にBP=bOP となるPの軌跡とが交点を持つ条件を調べることになります。(1)の答えは（a=1やb=1の場合を除いて）円になるので、2つの円が交点を持つ条件と言い換えられます。
2つの円が交点を持つ条件は、(半径の差）≦（中心間の距離）≦（半径の和）となりますので、これをひたすら処理していきます。
a.bがそれぞれ１なのか、1より大きいか小さいかで場合分けが発生するため、処理が非常に長く大変です。
＜筆者の解答＞
第4問
整数係数の2次方程式が、整数解を持つ条件を求める問題です。(2)が難問です。
(1)は、方程式を解の公式を使って解いたときにルートが外れないといけません。よって√の中身、a^2 - 4a が平方数になっていないといけません。因数分解を使ってaの候補を絞り込みましょう。
最後に、求まったaで、ちゃんと整数解を持つ十分性も確認しましょう。
(2)は、思いつかないとまず無理だと思います。
(1)と同じように、√の中身が平方数、、と行きたいところですが残念ながらうまくいきません。
ここで、x^2 +ax+b =0 の解をx1, x2とすると、x1とx2は両方マイナスの数になります。特にx1, x2は整数なので、両方-1以下の数となります。
よって、(x1 +1)(x2 +1)≧0が言えるので、これに解と係数の関係を適用すると、
b≧a-1 が出てきます。これとa>bを合わせると、b=a-1で確定します。この部分が経験がないとまず不可能なポイントです。
これが分かると、あとはy^2 + (a-1)y +a =0が整数解を持つ条件を考えることになり、これは(1)と同じ考え方ができます。
（※x^2 +ax + a-1=0は、x=-1, x=1-aと必ず整数解を持ちます）
＜筆者の解答＞
