東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2009年の問題を取り上げます。
第1問
与えられた展開図からできる三角錐の体積を求める問題です。
この問題は、直角が登場していることを利用し、座標設定をするとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
極限の問題です。
(1)直角三角形の斜辺の長さは分かっていますが、角度の情報が分からないので自分で設定する必要があります。
余弦定理を利用してLkを求めてΣの計算をしていくことになりますが、先ほど設定した角度が消えずに残ってしまうのでは、という不安を抱えながらの計算になります。結果、無事角度が消えてαとnだけの式になります。よかった。。。
(2)は、(1)さえできていればオマケです。
＜筆者の解答＞
第3問
直線の対称移動を考える問題です。
(1)l2の傾きを使って加法定理を使います。
(2)これも加法定理で傾きを計算します。
(3)l3の式をtの式として整理したときに、tの係数が0になりうるかを考えます。
(4)交点の座標をそれぞれ出して素直にPQの長さを計算すればよいのですが、いささか複雑な式になるので、一工夫が必要になります。うまく整理すると、相加相乗平均の関係が使えます。
＜筆者の解答＞
第4問
座標計算の問題です。
(1)問題文に従って連立方程式を立てて解きましょう。
(2)yをθで微分して増減を調べるだけです。
＜筆者の解答＞
第5問
(1)tanθ^2の積分は、一瞬何をすればよいか分かりにくいですが、cosθの式に書き換えると糸口が見えてきます。
(2)tanθ^2を無理やり作って部分積分です。
(3)anがプラスになるのは明らかで、(2)の結果からan+1 は1/(2n+1)未満になります。これではさみうちを使えます。
(4) (2)の式をいじくりまわして与式の形を作ることを考えましょう。
ここで出てくる結果は有名なもので、ライプニッツ級数と呼ばれています。
具体的に書き下すと、
1-1/3+1/5-1/7+・・・=π/4 となり、奇数を分母にした分数を足したり引いたりすると円周率が出てくるという不思議な級数になります。
＜筆者の解答＞
