東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、九州大学の2009年の問題を取り上げます。
第1問
ベクトルの問題です。
(1)OC = (1-c)OA + cOB とおいて、OCベクトルとABベクトルが内積0になるという条件を処理します。
(2) CP^2はtの2次式とみなせるので、平方完成して考えますが、sの値による場合分けが必要です。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
(1)n=1のときはずばり偶数を引く確率、n=2の時は2回の偶奇が一致する確率となります。
(2)奇数⇒奇数、または偶数⇒偶数と引けばよいので、これで漸化式が立ちます。
(3)M+Nは、カードの総数なので1/2k(k+1)で確定しますが、kの偶奇によってMとNの枚数の式が変化します。
(4) (2), (3)を使って漸化式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
２つの法線の交点の軌跡を考える問題です。
(1)方針自体は、法線の式をそれぞれ求めて連立させるというシンプルなものですが、a,bがそれぞれ0になるか否かで場合分けが発生します。
(2)C2とC1の式を連立した方程式を解きましょう。2曲線の概形は、どことなくマツダのロゴっぽくなります笑
(3)素直に積分計算をして面積を求めましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
(筆者注： (3)はX+Y+Zが正しいです）
行列とベクトルの問題です。これは関係式の使い方の難しい発想寄りの難問と言えます。
(1)は背理法を使います。Y=-Xを仮定すると、関係式をつかってXだけにすると
AX= -XかつAX= Xが求まり、X=0となりますが、これはX≠0に矛盾します。
(2)XとYが1次独立であることを説明すればOKだと思います。XとYは同じ大きさで平行でないので1次独立です。
(3) 関係式を使って(2)のs,tを求めます。
(4) (3)の式を使うと、X,Y,Zのそれぞれのなす角が120°であることが分かります。このことからYとZの成分表示が求まるので、Aを計算することができます。
＜筆者の解答＞
第5問
点の速度と加速度を考える問題です。
(1)(2)速さが1という条件から、dx/dtがxの式で表現できるので、これを使って速度と加速度の式を求めることができます。
(3) (2)の大きさをsの式で表して増減を調べます。
＜筆者の解答＞
