東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
絶対値付き2次関数についての問題です。
(1)f(x)がW型のグラフになるので、題意を満たすのは、頂点と両端の値が両方Mになる時です。
(2)f(x)のグラフとy=mxの交わり方を視覚的に捉えるとよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
行列のn乗についての問題です。
(1)数学的帰納法で証明します。
(2)を使えばanの一般項が求まるので、その偶奇を調べましょう。帰納法による証明でもOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
数列の極限の問題です。(1)(2)は容易ですが、(3)が難しいです。
(1)f(x)を微分して増減を調べるだけです。
(2)3次方程式を解くだけです。
(3)は、(2)の答えから、0<a<1/2のときは0, 1/2<a<1のときは1, a=1/2のときは1/2になりそうなことは簡単に予想できます。が、それをちゃんと証明しようとすると一筋縄ではいきません。
一番簡単なケースはa=1/2の場合でしょう。このときは、anはずっと1/2で一定なので1/2に収束するのは当たり前です。
それ以外の場合は、極限値をαとしたとき、|an+1 - α| < r|an - α| (rは1未満)を示して、はさみうちの定理に持ち込むことを目標に頑張るわけですが、経験がないと厳しいと思います。
＜筆者の解答＞
第4問
ベクトルの問題です。
(1)C(a, b, c)とおいて、内積の条件を処理していきます。
(2)Dの座標も(1)と同様に求めることができます。4つのベクトルのなす角が全て等しいので、α=θであり、OCベクトルとODベクトルのなす角もαとなります。この事実からαを求めることができます。
＜筆者の解答＞
第5問
積分で書かれた関数に関する問題です。典型的な問題ですので、是非とも解き切りたい問題です。
(1)(2)ともに、∫e^t f(t)dt を定数でおいて元の式に代入するという形で解くことができます。
＜筆者の解答＞
