東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
多項式を決定する問題です。
(1)f(x)を一般のn次式と置いたときに、x^4f(1/x)が分数を含まない条件を考えます。
これを考えることにより、f(x)の定数項と4次の係数が等しく、また1次と3次の係数が等しいことが分かります。
(2) 残りの条件から、f(0)=f(1)=1が言えるので、この時点で係数の条件を大分絞ることができます。最後はf(1-x)=f(x)が成り立つように係数を決定します。
＜筆者の解答＞
第2問
直角三角形を題材にしたベクトル列の問題です。
(1)登場する三角形は、相似な直角三角形なので、それをうまく利用します。
(2) (1)の結果から無限等比級数を計算することになります。ご親切にもネイピア数の説明があるので、使いましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
四面体の体積を計算する問題です。
(1)問題文から、OA, OB, OCベクトルの長さと内積が計算できるので、OGベクトルをOA, OB,OCで表現して計算することができます。
(2)△ABCを底面とすれば、OGが高さとなるので、体積を計算できます。
＜筆者の解答＞
第4問
点の移動を考える、確率の問題です。
(1)(2)点の位置が1~6あるいは-6~-1であれば、どの位置にあっても終了する確率は1/6, 終了しない確率は5/6となります。
(3)8から何手で、(1)(2)の状況に持ち込めるかで場合分けします。これは、1回目に出る数字を考えればよいです。
＜筆者の解答＞
第5問
行列の計算問題です。
素直に条件式の左辺をひたすら計算することを考えましょう。行列の場合は必ずしもAB=BAにはならないので、(A+B)^2 = A^2 +AB +BA+ B^2 と計算されることに注意です。
計算していくと、sin○○ = △△ の形にできるので、右辺の絶対値が1以下になっていればよいわけです。
＜筆者の解答＞
第6問
放物線と円で囲まれた面積を考える問題です。
(1)P(cosα, sinα), Q(-cosβ, -sinβ）とおいて計算します。
(2)面積を計算するときは、図形的に簡単に計算できるところはできるだけそちらで計算してしまい、極力積分計算を減らす努力をしましょう。
(3) (1)の結果から、k→∞とすると、αもβもπ/2に近づきます。
＜筆者の解答＞
