東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
行列と多項式の融合問題です。
(1)ケーリーハミルトンの定理からA^2をAとEで表現できるので、条件式の次数を下げることができ、AはEで表せないので、αA+βE =Oのとき、α=β=0となります。
(2)f(x)が、x^2 + 2x +2 で割り切れることに気付ければ、2次方程式が正の解を持つ条件を求める問題に帰着できます。aを分離する方法でも解くことができます。
ここで、x^2 + 2x +2 で割り切れることは偶然ではなく、Aがケーリーハミルトンの定理でA^2 + 2A +2 = Oを満たすことから言うことができます。このような、ケーリーハミルトンの式でAをxに置き換えた多項式を、Aの固有多項式と呼びます。
この固有多項式=0 と解いて得られる解が、行列の「固有値」と呼ばれるものになります。
＜筆者の解答＞
第2問
三角形の辺の比、面積の比を考える問題です。
(1)は、QR:RAや、PR:RBを知る必要があります。これを求める方法としては、ベクトルを使うのもよいです（別解）が、初等幾何のメネラウスの定理を使ったほうが素早く求められます。sの式がやたら汚くなるので、ミスを疑ってしまいそうですね。。
(2) (1)ができていれば瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第3問
対数関数のグラフの面積に関する問題です。
S, Tを素直に計算し、S=Tを整理すると、2a -aloga = 2b -blogbが得られます。こうして、2x- xlogx =Aが２つの実数解を持つ条件を求めることに帰着します。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
第4問は(a)(b)の選択問題で、今回はどちらもヘビーなので難易度に大差はないと思います。お好みで選んでください。個人的には(a)の方がしんどかったです。。(a)は、不等式を満たす整数解の個数を求める問題です。
(1)いきなり、2008なんて大きな数字が登場して泣きそうになりますね。。しかも等号ならまだしも、不等号なので、解の個数がとんでもないことになるのは想像に難くないでしょう。
とにかく、解く方針としては、どちらかの文字を固定して数えて、最後に和を取るのが基本です。ここではあまり分数が登場しないようにxを固定するのが良いと思います。
xの偶奇により場合分けが発生します。どのみち、4桁×3桁の掛け算をしないといけないので、部分点狙いで十分でしょう。
(2) 今度は3文字が登場して厄介さが増しています。ここでも基本方針は変わらず、x固定です。この下でさらにyを固定してzの個数を数えるという方針で行きましょう。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
選択問題の片割れで、(b)は確率の問題です。
(1)は基本問題でしょう。
(2)Aから取り出す赤の個数で場合分けして考えます。
(3)は、1回目に赤を何個取り出したかによって、Aに残っている赤の個数が変化します。A, Bに入っている玉の総数は等しいので、赤が多く残っている袋を2回目に選ぶことになります。
これを念頭に、赤を取り出す確率を個数ごとに計算していくことになります。
＜筆者の解答＞
