東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2007年の問題を取り上げます。
第1問
上三角行列をn乗して単位行列になる条件を考える問題です。
(1)(2)ともに、条件を満たすa~dを決めていきます。
(3)は、A^4 =Eとなる条件が、A^2 = Eとなる条件と完全一致することを説明すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3次方程式の解の配置を考える問題です。
(1)は教科書レベルの問題です。
(2)解と係数の関係から、α+β+γ=3/2 , αβ+βγ+γα=0, αβγ=(a-1)/2 と求まるので、これをを使って、lの式からαとγを消去しましょう。
(3) (1)の結果から0<β<1が求まるので、この範囲でlの増減を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
体積の極限の問題です。
Vnを計算すると、an+1, anの式で表されます。このままではどうにもなりませんが、ここで、一風変わった問題文の漸化式を計算します。
すると、an^(1/3)が等差数列になっていることが分かりますので、an^(1/3)の一般項が求まります。
これにより、極限が計算できるようになります。√-√の形の極限は、分子を有理化するとうまくいくことが多いです。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
第4問は(a)(b)の選択問題で、難易度的には若干(a)の方が低めという感じでしょうか？
(a)は軌跡を考える問題です。
(1)2つの接点の座標を文字で置いて進めると見通しが良いと思います。
計算を進めると、x1x0 + y1y0 = 1が求まるので、これはOPベクトルとOQベクトルの内積そのものとなっています。
状況を図に書いてみると分かりますが、OPとOQは同じ方向を向いていることが分かります。以上からOP×OQ=1が分かります。
この事実から、Qの座標がPを使って表すことができます。
(2) (1)の結果からx0, y0を消去しましょう。結果、軌跡は円になりますが、Qは原点を通りえないことに注意します。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
確率の問題です。
(1)3回分の袋の中身の変化を丹念に追いかけていきましょう。
(1)ためしにn=2の方も計算してみると、p2(1): p2(2): p2(3) = 3:2:1となります。このことから、ひょっとして、pn(1):・・・:pn(n+1) = (n+1): ・・・:1 となるのではと勘が働きます。これを数学的帰納法で証明しに行きます。
n=kとn=k-1の間で漸化式を立てて証明しましょう。
＜筆者の解答＞
