ちょぴん先生の数学部屋

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平成の阪大文系数学 2009年

旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。

この記事では大阪大学の2009年の問題を取り上げます。

 

理系の記事はこちら↓

平成の阪大理系数学 -2009年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)

第1問

3次関数の接線に関する問題です。

 

(1)l1の式を求めて、Cと連立してあげればよいです。

 

(2)l2の式も同様に求まるので、傾きの積=-1を処理します。

 

(3) t=a^2とすれば、(2)の結果はtの2次方程式になるので、これがt>0で実数解を持つkの条件を考えましょう。2次関数の軸の位置で場合分けします。

 

<筆者の回答>

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第2問

ベクトルの計算問題です。

 

(1)AD⊥OB, BC⊥OAを処理して、a・bを求めましょう。

 

(2) (1)で作った2つの式からa・bを消去すればよいです。

 

(3) BP:PCあるいはAP:PDを調べればよいのですが、メネラウスの定理を使うと楽です(もちろんベクトルでの処理でもOKです)。

 

<筆者の回答>

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第3問

確率の問題です。

 

1~3のどれかが出る事象Aがα回、4が出る事象Bがβ回、5~6のどっちかがでる事象Cがγ回起こるとすると、α+β+γ=kとなり、k回後の到達点は(α-γ, β-γ)と書けます。

 

今回は(2,1)に到達する状況を考えるので、3γ+3=kとなります。

 

(1)(2) kが3の倍数でないときはγが整数にならないので確率0です。k=3,6のときの(α,β,γ)の組み合わせを考えて確率を計算しましょう。

 

(3) (2)の結果がaの3次関数なので、微分して増減を考えましょう。

 

<筆者の回答>

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