東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2009年の問題を取り上げます。
第1問
対数関数の接線に関する問題です。
(1)x=tにおける接線が(0,b)を通るとして考えます。
(2) (1)が使えるように、Bn(0, bn)、An(e^bn, bn)とおいて考えます。
これをもとにbnの漸化式を立てると、bnが求まります。これを使って面積計算をしましょう。
(3)Σke^(-k)の計算が要求されます。
＜筆者の解答＞
第2問
直線の1次変換を考える問題です。
(1)問題文の行列をAとすると、A^nの形が、nの偶奇によって大きく変わります。よって、lnの形も、nの偶奇による場合分けが発生します。
(2) nの偶奇に注意して、円と直線の接触条件を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
「ピッタリ直線」について考える問題です。
ここで定義されている「ピッタリ直線」は、線分AA'の垂直二等分線と同じ意味です。
(1)線分AA'の垂直二等分線の式を求めればよいです。
(2) (1)で求まった関係式をtの2次方程式とみなしたときに、これが0≦t≦6の範囲に２つの実数解を持つ条件を求めることになります。
(3) (2)の解をα, βとしたとき、(α-4)/2×(β-4)/2 = -1となる条件を求めます。
＜筆者の解答＞
第4問
サイコロを転がしたときの底面を考察する確率の問題です。
(1)サイコロの性質から、１つの底面に隣り合う４つの面の数字の合計は、底面の数字によらず14になります。これをつかって、底面が1か6になる状態Q, 底面が2か5になる状態R, 底面が3か4になる状態Sの3状態の推移を考えて漸化式を立てて解きましょう。
(2)例えば、底面が1になるときは、状態RまたはSから確率1/14でそうなります。このような考察を6面全てで行います。
＜筆者の解答＞
