このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は2011年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
小問集合です。
(A)
(1)図形問題です。
正弦定理を使うことでPB=QCの長さが求まるので、そこから間接的にPQを計算します。
(2)確率の問題です。
2か3しか出ない確率から2しか出ない、3しか出ない確率を引いてあげればイが求まります。ウについても同様に考えればよいです。
(3)3次方程式の解に関する問題です。
虚数解を解に持つなら、その複素共役も解に持ちます。これと実数解1つを持つので、解と係数の関係からa,bが求まることになります。カについてはド・モアブルの定理を利用すればよいです。
(B)整数の証明問題です。
命題1については、a^2 -b^2 =2n+1となるa,bがどんなnに対しても見つかることを説明します。具体的にはa=n+1, b=nとすればいいですね。
命題2については必要性と十分性の両方を証明する必要があります。
十分性については、命題1同様にa=n+1, b=n-1とすればa^2 -b^2 =4nとできて証明完了です。
必要性については、a^2 - b^2が偶数ならaとbの偶奇が一致し、どっちの場合でもa^2 - b^2が4の倍数になることを言えばよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
軌跡と接線に関する問題です。
(1) P(cosθ, 0), Q(0, sinθ)とおくと見通しが良いです。結果、Cは楕円であることが分かります。
(2)
(i)x=-√3/3が接線なら、条件からもう1本の接線はy=√2/3になっていないといけませんが、後者は接線になりえません。
(ii)接線の傾きがαとβだとすると、条件からαβ=-1となるので、接線とCの式を連立して重解を持つ条件から攻めていきます。結構計算量が多めで大変です。
＜筆者の解答＞
第3問
立方体の内部にあるひし形に関する問題です。(3)が難問でしょう。
(1)
(i)当たり前の事実なのですが、どこまで説明すればよいか悩みどころです。
答案では、直線JKと直線MLが平行なので、両者を含む平面が必ず存在する、という説明の仕方をしています。
(ii)ひし形になるという条件から、PQベクトル＝SRベクトル（平行四辺形となる条件）と、PQ=PSの２つが成り立ちます。
(2)公式から面積をpとnの式で表すと、実質4次式を最小にする問題となります。微分を使えばよいでしょう。
(3)これはやることが多く難しいですね。
まずは、Hの座標を調べましょう。そのためにはひし形の乗っている平面の式を求める必要があります。
この後の方針は、
「Hのひし形の中での位置を調べる」→「Hから最も遠い頂点を見つける」→「その距離を半径とする円を底面にもち、高さがOHとなる直円錐の体積を調べる」という流れになりますが、最初の「Hのひし形の中での位置を調べる」が一番の関門です。
ひし形の対角線は直交するという性質があるので、その交点Mを始点として位置関係を調べていきます。このときMPベクトルとMRベクトルは互いに逆向き、MQベクトルとMSベクトルは互いに逆向きという性質があるので、1次独立なのはMPとMQの組み合わせになりますので、MHベクトルを、MPベクトルとMQベクトルの和で表現することで、位置関係がばっちり分かります。
(4) (3)ができていれば、区分求積法で極限計算ができます。
＜筆者の解答＞
