このシリーズでは、東京慈恵会医科大学の数学の問題を解いていきます。
13回目の今回は2010年です。
（問題文を提供して下さったせがわさん、ありがとうございます。）
第1問
小問集合
(1)図形問題です。
円に内接する四角形の性質を使って、余弦定理、正弦定理を使っていきます。
(2)確率の問題です。
Pnは積の要素でできた式になるので、最大を求めたくば前後の項との比を調べるとよいでしょう。
(3)行列の問題です。（背景には「対角化」があります）
x,yについては①を素直に計算していけばよいです。
後半については、Aの累乗を直接計算すると式がかなり汚くなってしまうので①を利用していきます。具体的には左からP^(-1), 右からPをかけることで、Aの累乗を全て対角行列の累乗にできるので計算が楽になります。
あとは、aとbが整数になることに注意して調べていきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の大小関係と、回転体の体積を計算する問題です。
(1)基本的には誘導に従って解いていけばOKです。(iii)では(i)と(ii)の結果が生きてきます。指数関数の底がeではく2なので、微分するごとにlog2がおまけで出てきてしまうことに注意します。
(2) (1)の結果を使うとx≧0でのh(x)の符号が調べられ、そこから直ちにf(x)とg(x)の大小関係が調べられます。
一方のx<0の場合についてですが、実はf(x)もg(x)も奇関数になっていることを利用するとx≧0での結果から分かります。
（答案では、その事実を(2)時点では気付かずに解いています。h(x)をx<0についても(1)同様に調べています）
(3) (2)の結果からグラフが書けるので、定石通りに体積計算できます。両曲線とも原点対称になってることから、x≧0の部分だけ実質計算すればOKです。g(x)についてはx=tanθの置換で計算し、f(x)については積分するとオマケでlog2が発生することに注意です。
＜筆者の解答＞
第3問
ベクトルの回転と圧縮に関する問題です。
(1)θ回転の行列×1/2をn回繰り返すことになるので、そこから一般項が求まります。
(2)三角形が全て相似比1/2の相似の関係になっていることに気付けると、実質S0を計算する問題となります。S0についても三角比で面積計算できます。
(3)P0P1ベクトルとPnPn+1ベクトルをそれぞれ計算して、平行になる条件を処理していきます。最終的にはシンプルな関係式になります。
＜筆者の解答＞
