東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2005年の問題を取り上げます。
第1問
積分を使った関数の増減を調べる問題です。
(1)X=e^aとすればX^2の2次方程式になります。
(2)文字が混じっていますが「xで」積分しましょう。
(3)F'(t)を計算する過程で、(1)の式が登場します。
注意ですが、F'(t)を計算するときに、「積分の中にtを突っ込めばいい」という方法を今回はやってはダメです。なぜなら、積分の中にtが入っているからです。
＜筆者の解答＞
第2問
行列を使ったベクトルの漸化式の問題です。
(1)これは方針に迷うかもしれません。漸化式にある行列のn乗は簡単に計算できそうにないので、ここはcn+1を直接計算してみましょう。
(2)cnは等比数列となるので、公比の絶対値が1未満になればよいです。
＜筆者の解答＞
第3問
(1)x^mのグラフを使っての面積の比較を思いつけるといいですね。
(2) (1)を使ってはさみうちの定理を使うことを考えましょう。
(3) これは若干発想が必要ですが、f(x)の次数をrとして(2)を使うと、rを確定させることができます。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数の漸化式の問題です。
(1)漸化式を使ってa2を求めて、円の式を確定させます。
(2)数学的帰納法で解きます。akが円上にあると仮定したとき、ak+1も同じ円周上にあることを確かめましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
シンプルながら良問の、図形問題です。
正四面体OABCの中心Gが、ベクトルの式でOG=(OA+OB+OC)/4と書けることに注目するとよいでしょう。
ベクトルを使わず、適切な断面を切って図形的に解く方法もあるかと思います。
＜筆者の解答＞
