東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2003年の問題を取り上げます。
第1問
行列を使った漸化式の問題です。
(1)まず、解と係数の関係を使ってp,qをα,βで表しておきます。
この下でP2を計算していくわけですが、βが消えてくれるか正直不安ですよね。。結果、無事βが消えてくれるのでよかったです。。。
P3も同様に計算します。
(2) (1)でPnの一般項の形が予想できるので、帰納法で証明しましょう。最後にまとめるとき、α=1の場合だけ例外扱いになることに注意です。
(3) (2)ができていれば、α^nが収束する条件として考えることができます。
＜筆者の解答＞
第2問
線分の長さの最大値を求める問題です。
sinα=dとなるαを持ってきて、Rの座標を(cosθ, sinθ) (α<θ<π-α)と置くことで、STの長さをθの関数として書くことができます。θを動かしてSTの増減を考えればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の最大値を考える問題です。
(1)Pn(k)は簡単に求まるので、割り算を素直に実行します。(1)があからさまな(2)のヒントになっています。
(2) Pn(k)の増減が知りたいので、(1)で求めた確率の比が1より大きいか小さいかを調べればよいです。
比が1になる条件を、k=の形で求めると、３を分母にした分数が登場します。このことから、nを3で割った余りによる場合分けが必要になります。
(3) (2)ができていれば、瞬殺です。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
第4問は例年通りの選択問題なのですが、(b)問題の情報が入手できず解くことができなかったので、(a)問題のみ解くことにします。
(a)問題は図形の性質を証明する問題です。(1)と(2)は独立した問題です。
(1)は、ベクトルを使って証明するのが一番簡便でしょう。
(2)は、いわゆる「等面四面体」という奴で、三角形が鋭角三角形なら必ず等面四面体を作れることを証明する問題です。過去に京大で同様の問題が出題されています。
まず、問題文にある不等式が、「a,b,cは鋭角三角形になる」ときちんと解読できたでしょうか？ 一番長い辺cについて、余弦定理から
c^2 < a^2 + b^2 →鋭角三角形
c^2 = a^2 + b^2 →直角三角形
c^2 > a^2 + b^2 →鈍角三角形
が成立します。
鋭角三角形だと分かると、直方体から4隅を切り取ることで、等面四面体を作ることができます。
＜筆者の解答＞
第4問(b)※問題が入手できなかったため、省略
