東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2003年の問題を取り上げます。
第1問
(1)まずznの一般項を求めることから始めましょう。これとド・モアブルの定理を使うと、znが実数になる条件が、n^2×5° が180°の倍数となることが分かります。
(2)三角形のどの角度が直角にになるかで3通りの場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第2問
指数関数の２つの接線の交点のx座標が必ず正になることを証明する問題です。(1)が(2)のヒントとなっております。
(1)は典型問題です。微分して増減を調べます。
(2) 2本の接線の式を出して交点のx座標をa,k で表現します。この式をよく見て、どうすれば(1)を適用できるかを考えましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
恒等式の問題です。
(1)要するに、f(x)がn次式のとき、f(x)=0となる解がn+1個以上あるとするとき、f(x)が恒等的に0になることを証明する問題です。因数分解を考えるとよいでしょう。
(2)xがπの倍数のとき、sinxとsin2xは常に0となるので、f1(nπ)=0となり(1)が使える形になります。このようにして、f1(x)は恒等的に0→f2(x)は恒等的に0を順に示していきましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
特殊な漸化式の一般項を求める問題です。発想寄りの難問です。
掛け算が足し算になるという漸化式なので、なんとなく対数が登場しそうだと予想できますが。。。
(1)は、n,l,kを固定したときに、具体的にmの式を求めることができます。
(2)は難問です。
(1)で示した不等式で対数を取って、少しでもゴールの形へ近づけていきます。しかし、m,nとak, al の関係性を調べるのが難しいポイントです。
ポイントは、a(k^n) = na(k)となることを漸化式から見抜けるかどうかです。anは増加関数なので、(1)を使うと、
a(l^m-1) ≦ a(k^n) < a(l^m) ⇔ (m-1)al ≦nak < malとなるので、m,nとak, al の関係性をここから知ることができます。
(3)は、(2)ができていなくても解けますが、これまた考えにくい問題です。
意外に思いつきにくいですが、(2)の不等式の中辺はnに依存しない数です。はさみうちの定理を使うと、この値が0で一定になることが分かります。
この事実から、ak/ logkが定数になることが分かります。当初の予定通り、akが対数の形で書けることが分かりました。
＜筆者の解答＞
第5問
楕円の存在条件と、それにまつわる三角形の面積のグラフを描く問題です。
こちらは発想面で難しいポイントはあまりないのですが、とてもボリューミーです。
(1)楕円の中心を(a,b)として楕円の方程式を作り、それが(1,2)を通る条件を処理していきます。
(2)楕円が2つ存在する条件を詳細に調べて、面積をaの式で表現します。
このとき、|a-1|の絶対値処理が必要になるので、当然場合分けが発生します。
微分をするとき、絶対値とルートを同時に回避できるように、2乗してから微分するとスッキリします。
＜筆者の解答＞
