東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2002年の問題を取り上げます。
第1問
3次方程式の実数解の性質を証明する問題です。一見すると取っ掛かりがなさそうですが、実はそんなに難しくありません。
3次関数のグラフを描くことを想像してみましょう。微分して極値を調べますよね。
今回の関数を微分してできる2次式は、=0の解が必ず２つとも負になっています。
つまり極大となるxも極小となるxも両方負になります。その状況を絵に描いてみれば、証明したい事実が一目瞭然となります。
＜筆者の解答＞
第2問
双曲線の点が作る長方形に関する問題です。
(1)長方形となる必要十分条件は、
・対辺の長さが等しく平行である
・角度の一つが直角である
の２つです。1つ目の条件は、ベクトルが完全一致することと言い換えられます。これと2つ目の条件を使ってb,c,dの式を求めていきます。
(2)TとUの座標をaで表して、直線TUとy=1/xが共有点を持たない条件を求めます。
(3)図形的な考察も含めて、楽に面積計算しましょう。
(4) (3)の結果をaで微分して増減を調べるだけです。
＜筆者の解答＞
第3問
複素数の漸化式の問題です。
(1)簡単には一般項が求まりそうもないので、小さいnで実験してしましょう。すると、分子はαの累乗、分母は2の累乗の形になりそうです。αの何乗になるかを考えたうえで、帰納法を使いましょう。
(2)αの形から、nを3で割った余りによる場合分けが発生します。
答案では実部と虚部に分けて計算していますが、zn事態も等比数列もどきなので、いきなりznで無限級数をとっても良いです。
＜筆者の解答＞
第4問
サイコロを振った時、同じ目が出るまでの距離を考える確率の問題です。少し難しい問題です。
(1)k=2の時は簡単です。同じ目が連続して出なければよいのです。
(2)が山場です。
まず、サイコロの目は6個しかないので、どんなに頑張っても7個離れると同じ目が出ざるを得ません（いわゆる、鳩の巣論法という奴です）。よって、k≧7の場合は確率0ですので、2≦k≦6の場合を考えれば十分です。
これらは、出る目を文字で置いて、どの目が出てはいけないかを図に書いて考えると考えやすいでしょう。
(3)は、p2 -p3を計算すればOKです。
＜筆者の解答＞
第5問
2つの円と直線で挟まれた領域による回転体の体積を考える問題です。
(1)D1, D2がそれぞれどんな図形になるかを、図を描いて丁寧に考察します。グラフの上下関係に注意して体積を計算しましょう。
(2) (1)の答えの増減を調べます。全てcosαの式で書けるので、t=cosαとしてtで微分すると計算が楽になります。
＜筆者の解答＞
