東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、北海道大学の2001年の問題を取り上げます。
第1問
（筆者注： 誤 A^2+E^3n 正 (A^2+E)^3n)
複素数と行列の融合問題です。
(1)b-d≠0とするとwが実数となり矛盾します。
(2)ωは、1の3乗根のうち虚数となるもので、ω^2 + ω +1 =0を満たします。これを使ってω^2を消去し、(1)を使いましょう。
(3)A^2 + E = -A、かつA^3 = Eが分かるので、これを利用します。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式が全てのxに対して成立するcの条件を求める問題です。
不等式を変形すると、c≧(1-cos2x)/x^2 となるので、右辺の取りうる値の範囲よりcが大きければよいことが分かります。よって、f(x)=(1-cos2x)/x^2の増減を調べることに終始します。
f(x)の増減調査は、意外に面倒くさいです。
＜筆者の解答＞
第3問
点の軌跡を求める問題です。
(1)これは、図形的に考察し、OP:OQの辺の長さの比を求めたほうが早いです。
(2)P(3+cosθ, sinθ）と表せるので、これを用いてQの座標をθで表現、θを消去しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
無限級数の等式証明の問題です。誘導に従って解いていきます。
(1)は、分母を因数分解し、部分分数分解を使って解く典型的な積分計算です。
(3) (2)の左辺が、はさみうちの定理を使うと0に収束することが分かります。
＜筆者の解答＞
第5問
3人が連戦をする状況を考える確率の問題です。似たようなシチュエーションの問題が、東大でも出題されています。
(1)4試合分の勝者を順番に並べて考えるとよいでしょう。
(2)これは、n回経っても勝負が終わらない場合を考えたほうがやりやすいです。
勝負かつかないように勝者を並べると、
A→C→B→A→C→B→・・・
B→C→A→B→C→A→・・・
という2通りの並び方になります。
＜筆者の解答＞
