東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の2001年の問題を取り上げます。
第1問
3次関数と2次関数で囲まれる面積を考える問題です。
(1)２つの曲線の交点を求めて、上下関係を意識しながら面積計算しましょう。
(2)Sは、aとbの対称式なので、a+b, abの式で書くことができます。今回はa+bは1で固定なので、abの式でSを表現することになります。
a+b=1となるとき、abの取りうる値に制限がかかることに注意です。
＜筆者の解答＞
第2問
関数の大小を調べる問題です。
(1)は、いわゆる「分子の有利化」というテクニックで極限計算します。
(2)３つの関数の差を取って、それぞれに対して増減を調べましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
カードの番号を2で割れるだけ割った後に残る奇数を得点としたときの期待値を計算する問題です。
とにかく、各得点の発生の発生確率を計算することが第一です。
そのために、1~200の数を、2で割り切れる回数でグループ分けしましょう。
期待値計算は、工夫して丁寧にやらないと大変です。
＜筆者の解答＞
第4問
四面体の体積を計算する問題です。計算の分量が多めです。
(1)LPとMQの交点をSとしたとき、SがNR上にあることを証明しましょう。
(2)問題設定から簡単に求まります。
(3)はなかなか計算がエグいです。
問題文の設定から、p,q,rの内積は全て0となります。
そのもとで△ABCの面積を計算し、XないしOと△ABCの距離を考えることになります。
そのうち、後者の距離の計算が大変です。（発想は単純ですが）
＜筆者の解答＞
第5問
複素数の計算問題です。
|1+z+w|^2の計算を行い、絶対値が1という条件からyとvを消去することができます。
＜筆者の解答＞
第6問
積分の極限を考える問題です。
(1)は帰納法で証明しましょう。
(2)は、積分を実際に計算することで漸化式を作れます。
漸化式をうまく変形して(1)が使える形に持っていきましょう。
この問題で求まる極限値は、応用上重要なものです。
ネタバレしてしまうと、(2)の答えはm!となります。いわば、(2)の極限は、「階乗の一般化」を表しており、「ガンマ関数」と呼ばれています。
(2)の積分を計算する分には、別にmは整数である必要はありません。例えばm=1/2, m=πとかでもよいわけです。これによって、(1/2)!, (π)!みたいな訳の分からない「階乗」も計算できてしまうわけです。
＜筆者の解答＞
