東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、名古屋大学の2001年の問題を取り上げます。
第1問
不等式証明の問題です。
微分での処理が難しいので、図形的な考察を考えます。y=log(logx)のグラフの傾きの大小関係を調べることがポイントになります。
＜筆者の解答＞
第2問
絶対値付きの積分を計算する問題です。
当然絶対値を外さないといけないので、tとxの大小関係を考える必要があります。
ここで、tの範囲は0<t<πなので、0<x<πのときと、π<x<2πのときとで大きく状況が変わることが分かります。前者は、tとxの大小がひっくり返る可能性がありますが、後者は可能性がありません。
＜筆者の解答＞
第3問
三角形の外心に関する問題です。
(1)OA'を、OA上にある、BC上にあるという2つの条件により2通りに表すことができます。これと、与えられた等式を使って求めていきます。
(2)OB'とOC'も(1)と同様に求めることができます。
Oが△ABCの外心かつ、△A'B'C'の外心なら、|OA|=|OB|=|OC|かつ、|OA'|=|OB'|=|OC'|を満たします。
＜筆者の解答＞
第4問(a)
第4問は選択問題で、難易度は同等だと思います。
(a)問題は、複素数の一風変わった問題です。
(1)1の6乗根となる６つの複素数のうち、-1を除いた5種類が、それぞれa,b,c,d,e個含まれるとしてz1+・・・+znを計算します。ここで、-1/2±i√3/2が含まれていないと改定するとz1+・・・+zn=0になりえないことを示しましょう。
(2)1と-1/2±i√3/2が少なくとも1個ずつあることが確定したので、残りの２つが何個入っているかを調べます。
最後は、求まった組み合わせの並べ方を計算すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問(b)
(b)問題は、ランダムウォークを題材にした確率の問題です。ただし、-1,3についたら終了するという特殊な条件が付いています。
全体通じて、一度も-1,3につくことなくk回目に0,1,2のどれかにいる確率Qk(x=0,1,2)を考えることがカギになります。
(1)Qk(x=0,1,2)の漸化式を立てて解くことになります。一個飛びの漸化式となるので、kの偶奇による場合分けが発生します。
(2) (1)で0,1,2にいる確率は求まったので、残りの-1,3にいる確率を考えます。
-1にいるのは、直前に0にいて左に動くか、直前も-1にいる場合です。よって、l回目に初めて0から-1に移動する確率を計算して、それを足せばよいことになります。
3にいる確率は、全体から-1,0,1,2にいる確率を引き算して求めることができます。
kの偶奇に注意して期待値計算しましょう。
＜筆者の解答＞
