東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の2001年の問題を取り上げます。
第1問
複素数平面の問題です。
(1)定義に従って、z^2>>3とz*>>-5/z*を個別に処理しましょう。それぞれの存在条件の共通部分が答えです。
(2) |z-3i| =rとすると、これは、3iを中心とする半径rの円を表します。よって、(1)の範囲とこの円が交点を持つような半径の条件を考えることになります。
＜筆者の解答＞
第2問
4次関数の接線に関する問題です。
(0,a)を通るf(x)の接線の接点がx=tだとしたときに、tの4次式=aというtの方程式ができます。よって、この方程式の解が1つしかないaの条件を求めることになります。
これには、4次式のグラフを描けばよいですね。
＜筆者の解答＞
第3問
正4n角形の頂点を結んでできる三角形の個数を数える問題です。
(1)は、余弦定理を考えればよいでしょう。
(2)が難しいところです。
Pa, Pb, Pc (0≦a<b<c≦4n-1)の3点を選ぶとすると、(1)の事実から
n≦b-a≦3n, n≦c-b≦3n, n≦c-a≦3nを全て満たす必要があります。要するに、これを満たすa,b,cの個数を数えることになります。
これは、うまく工夫しないと数えられません。数えやすくするポイントは、数直線に解いてみることです。すると、a, b-a, c-bの3つの値が決まればb,cが自動的に決まることが分かります。
よって、b-aやc-aといった値を固定してaの個数を数えるといった方法で数えることができます。
＜筆者の解答＞
第4問
シグマで書かれた数列の最小値と、極限を考える問題です。
(1)g(k-1)>g(k)は、要するにf(kπ/3n) <0のことです。
これを調べることで、g(k)の増減が分かるので、最小値を調べることができます。
(2)は、式の形から明らかなように、区分求積法を使います。
＜筆者の解答＞
第5問
抽象度の高い数列に関する問題です。
(1)問題文通り帰納法を使います。ここでanの無限級数が1/2なこととanが0以上なことから0≦an≦1/2が言えることに注意しましょう。
(2) (1)の等号成立条件を考えればよいです。
(3)は発想が少し要ります。
cn=1-(anの和)になっているので、cn≧1/2が言えます。これと(1)を合わせることでb3=c3=1/2が確定します。 （このアイデアがなかなか出てこず悶絶しました。。）
このとき、(2)から、b2=c2, b1=c1も確定します。b1=c1は(1)の時点で成立しているので、b2=c2となる条件を調べましょう。これを調べると、a1a2=0となるので、場合分けして調べましょう。
結局a1,a2,a3は、1/2と0,0の並び替えで、a4以降は全て0であることが分かります。
＜筆者の解答＞
