東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1999年の問題を取り上げます。
第1問
不等式評価の問題です。
(1)微分すればよいわけですが、logがしぶとく残り続けるので、3回微分まで粘らないと増減が把握できません
(2)f'(1) =0はすぐに分かるので、これを使ってf(x)の増減を調べましょう。
(3) (1)(2)を使えばよいわけですが、xにどんな値を入れるべきかを少し考える必要があります。
＜筆者の解答＞
第2問
２つの球の共通接線を求める問題です。
単位方向ベクトルを用いて共通接線の式を表現して、各々の球と1点しか交点を持たない条件を検討していきます。
＜筆者の解答＞
第3問
線分の通過領域の面積を求める問題です。
通過領域を求める⇒面積計算という2段構成になっていて長い上に、「線分」の通過領域という点でさらに難易度が上がっています。
まずは、「線分」に限定せずに、「直線」の通過領域を求めてみましょう。順像法・逆像法のどちらでも行けるかと思いますが、答案では順像法を採用して解いています。
直線の通過領域が求まったら、Pの軌跡とQの軌跡をチェックすることで、「線分」の通過領域に絞っていきます。
残りの面積の計算は、あまり難しくありません。
＜筆者の解答＞
第4問
文字列の並べ方を考える確率の問題です。TOHOKUAOBA=「東北青葉」は、仙台市青葉区ということで、東北大学のメインのキャンパスの所在地ですね。
この手の問題は、全ての文字を区別して数えるのが基本です。
(1)O以外の7文字を並べた後に、その文字の隙間に１つずつOを挿入してあげればよいでしょう。
(2)余事象、「どの文字も隣り合わない」を考える方が楽です。
(1)での考察の前半部分、O以外の7文字の並べ方のうち、Aが隣り合わない場合と隣り合う場合の2パターンで場合分けして調べていきましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
(筆者注： (1)は、an-1/anを求める）
図形の面積を題材にした極限の問題です。
(1)非常に長くはありますが、面積・周長の条件を１つ１つ丁寧に処理していきましょう。
(2)は、最終的に、sinx/x →1 を利用する極限になります。
＜筆者の解答＞
第6問
長方形内での光の反射に関する問題です。
光の反射自体は時々登場するテーマですが、速度が減少するという設定は極めて稀だと思います。
（余談ですが、光は常に一定速度になることが、アインシュタインの相対性理論によって導かれます。。なので、現実には減速しません）
速度が指数関数的に減少すると何が起こるかというと、光の進める距離に限界が発生することになります。光の進む長さは、速度を時間で積分することで求めることができます。
さて、長方形を折り返していくと、光が頂点に到達するとき、横方向に1+2n, 縦方向に4mだけ進むことになりますので、上記の限界以下で最大の距離になるような、自然数n,mの値を調べていくことになります。
＜筆者の解答＞
