東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1998年の問題を取り上げます。
第1問
n次関数と、「格子辺」の交わり方を考える問題です。なかなかの難問です。
(1)(2)通じての話ですが、今回考える曲線は全部単調増加なので、格子点の場所では「格子辺」と交点を持たず、各格子点の間では、x=m上の格子辺を一個ずつ、かつy=n上の格子辺を一個ずつ通過することが分かります。
よって、実質格子点の個数を調べる問題となります。
格子点となる条件は、x座標が、a,bを既約にした時の分母を全て約分できる整数になっていることです。(2)では、nの値によって細かい場合分けが必要です。
＜筆者の解答＞
第2問
微分方程式を解く問題で、私は3つ解法を思いついたので、全て紹介します。
1つ目は、いわゆる「変数分離」という解き方で、fを含むものを左辺に、含まないものを右辺に寄せたうえで、両辺を積分する方法です。微分方程式の最も基本的な解き方と言えます。
2つ目は、微分方程式の形から、f(x)はx+pの倍数になっているので、これを微分して、x+pで括っていきます。これを繰り返すと、f(x)はx+pでn回割り切れることが分かります。
3つ目は、f(x)の式を直接微分することで,akの漸化式を立てる方法です。微分方程式を解くときにうまい方法が思いつかないときの最後の手段として用いる方法です。
＜筆者の解答＞
第3問
不等式評価と極限の問題です。
(1) 各辺の差を取って微分する、というお馴染みの手法で示します。
(2) (1)をうまく変形して、anを代入できる形にしましょう。そして、はさみうちに持ち込みます。
＜筆者の解答＞
第4問
長さの関係式を求める問題です。
そのままだとどうにもならないので、うまく座標設定しましょう。Qを原点にして、QPがx軸になるようなxy座標をつくると見通しが良いでしょう。
この下で、ベクトルの足し算をひたすら行うことになります。
＜筆者の解答＞
第5問
空間図形の体積計算の問題です。これは本セット最難問です。
(1)QとRをパラメータ表示してあげると解くことができます。
(2)与えられた不等式をひたすら計算することで、rの取りうる値の範囲をzを固定して求めることになります。すると、Hを平面z=tで切った断面積を計算できますので、それを積分すれば体積となります。
とにかくrの条件を求める過程が長く大変ですし、積分計算もそれなりに手ごわいです。
＜筆者の解答＞
