東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、東北大学の1990年の問題を取り上げます。
第1問
曲線で挟まれた図形の回転体の体積を求める問題です。
曲線が回転軸について対称なことに注目すれば、回転軸がx軸になるように曲線自体を回転させて考えると見通しが良いでしょう。具体的には、曲線を原点の周りに-45°回転すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
球面と円錐についての問題です。
(1)Oを通り、法線ベクトルが(3,4,12)となる平面がHです。
(2)Tが直線OC上にあることに注意して図を描くと、Eは円錐となることが分かります。あとは、P中心の半径1の球とBが交点を持つ条件を求めましょう。座標ではなく図形的に解くと見通しが良いです。
＜筆者の解答＞
第3問
対数関数のグラフを考える問題です。logの中身に「2乗」が入っているのが要注意ポイントです。
(1) (nx+1)^2nは、常に0以上ですが、nx+1は負になる場合があるので、指数2nを対数の外に出すときは、絶対値の形にしないといけません。
これに注意して微分して増減を調べます。
(2)積分を計算してSを求めます。
(3) 問題文からnとpの関係式が求まるので、これと(2)の結果を使います。（pはキレイな形で求まりません）
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
k回目に初めて1、あるいは5か6が出るとして、条件を満たす目の出方を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式の問題です。
(1) xで微分してからx=0を代入します。
(2)f(x)= の形にしてからg(x)を代入します。
(3) (2)の微分方程式を解きましょう。ここで、f(x)がx>0で連続となることに注意です。
＜筆者の解答＞
第6問
場合の数に絡んだ漸化式の問題です。
(1)末尾の2文字が同じになる列をAn, 末尾の2文字が違うものになる列をBnとして、An, BnからAn+1, Bn+1を作る方法を考えます。
(2)an+1 +rbn+1 を計算して、これが等比数列の漸化式になるようにrを調整します。
(3) (2)を使ってan,bnを求めましょう。
＜筆者の解答＞
