東大京大に引き続き、他の旧帝大の問題も取り上げていきます。この記事では、大阪大学の1990年の問題を取り上げます。
第1問
ある多項式が軸対称な時、2次式の多項式で書けることを証明する問題です。
全体を通じて、f(x)がx=aについて対称な時、f(a+x)=f(a-x)が常に成立することを使います。
(1) h(x)がx=aについて対称だと仮定してf(a+x)=f(a-x)の成立を確かめます。
(2)対象軸がx=0となるようにf(x)を平行移動した関数をF(x)とすると、F(x)は偶関数の多項式となるので、偶数乗の和で書けます。
＜筆者の解答＞
第2問
無限級数の計算問題です。
和積公式を使って積分を先に計算すると、部分分数展開の使える形になります。
＜筆者の解答＞
第3問
4次式の接線の本数についての問題です。
接点のx座標をx=tとして、tの方程式を作ります。このときt=±1はx軸そのものとなるので、それ以外の解が1個だけあるような条件を考えます。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題で、本セット最難問です。
(1)は定義通りに計算するだけの簡単な問題です。
(2)x3を消去して、Pをx1,x2の関数として考えます。このとき、x1,x2の満たすべき条件をきちんと調べる必要があり、x1+x2とNとの大小関係による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第5問
立方体を回転させたときの断面を考える問題です。
(1)辺BCを回転してできる曲面Mを平面x=tで切った断面を考えることでＭの式を求めることができます。
(2)同様にして、辺OA, OC, ABを回転させたときの断面を考えましょう。
＜筆者の解答＞
