文系数学の最難関、一橋大学の2008年の問題を取り上げます。
第1問
2次不等式の整数解が1つだけになる条件を求める問題です。
まず大前提として、この2次不等式が実数解を持たないといけないので、判別式>0は必須です（=0は今回の場合はNG)。
その上で、2次不等式を解くと、○○<n<△△の形になります。
このとき、もしこの区間の長さが2より大きいとすると、必ず整数が2個以上含まれてしまいますので、区間の長さが2以上となることも必要です。
以上の２つの条件からkの候補が絞られますので、あとは虱潰しに調査です。
＜筆者の解答＞
第2問
連立方程式を大量に解く問題です。
3次方程式の解は3つしかないので、p,q,rは、2p^2 -1, 2q -1, 2r -1のどれかと1対1で対応します。
p=2p^2 -1 としてしまうと、q=rとなってしまうので、p=2q-1かp=2r-1で確定します。qとrは対称な関係なので、どちらかを検討すれば十分です。あとは、2p^2 -1 がqとrのどちらになるかで場合分けして検討しましょう。
解と係数の関係を使えば、p,q,rからa,b,cを計算できます。
この問題の答え、異常に汚いので合っているのか不安になってきます。。。
＜筆者の解答＞
第3問
領域の包含関係を考える問題です。
この問題は、D1: x^2≦y≦x が、常にD2: 1/2≦(x-a)^2 +y≦2に含まれる条件を考える問題となります。
D2はaの値によってx軸方向に平行移動する領域となるので、aの値によって、D1, D2の位置関係がどう変化するかをとらえていきます。
D2は一度に考えるとややこしいので、2つの部分に分けで個別に調べるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第4問
正四面体についての問題です。使う武器は、もちろんベクトルです。
(1)正四面体という情報から、OA, OB, OCの各ベクトルの大きさや内積の情報が手に入るので、PQベクトルを、これらのベクトルで表現できれば良いです。
(2)ベクトルを使った三角形の面積公式に当てはめて、最小値を考えましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
確率の問題です。
(1) k=2のとき、Aに入る赤の枚数は2枚か4枚なので、それぞれの確率を計算しましょう。確率の最大値は、前後で比を取って考えるのが鉄則です。
(2) (1)と同じようにp0, p1, p3を計算してnの不等式を解きましょう。
＜筆者の解答＞
