文系数学の最難関、一橋大学の1989年の問題を取り上げます。最終回です。
第1問
2次不等式の解の共通部分についての問題です。
(1)は、①の区間が、②の区間にすっぽり収まっていればよいわけです。
(2)①の区間と②の区間に共通部分がある条件を、数直線を描いて調べましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
3次関数の接線のなす角についての問題です。
(1)lの式→Qの座標→mの式の順に求まっていくので、最後はtanの加法定理を使いましょう。
(2)分母にaを集めれば、相加相乗平均の関係が使えます。
＜筆者の解答＞
第3問
空間上の点の存在範囲の体積を求める問題です。
OX, OYを、OP, OA, OBで表現すると、球を平行移動したものがX,Yの動く範囲だと分かります。よって、考える和集合は、2つの球を合体させたものになります。
＜筆者の解答＞
第4問
1次変換についての問題です。
Aは原点の周りの60°回転、Bは同じく45°回転を表す行列なので、fとgは順番を入れ替えてもよく、結局fの回数とgの回数だけで決まることになります。
(1) PからP'は30°回転なので、fの回数とgの回数がそれぞれ何回であれば30°回転になるかを考えましょ。
(2) QからQ'への移動がαπ回転だとしたときに、fとgの回数をどう選んでもαπ回転にならないことを証明します。
＜筆者の解答＞
第5問
点の移動を考える確率の問題です。
(1)表がm回、裏がn回出るとすると、A(m,n)、B(6-m, 6-n)となるので、出会い得る場所と、m,nが決まります。
(2) コインaについて表がs回、裏がt回, コインbについて表がu回、裏がv回でると考えて、(1)と同じように考えます。この場合はs,t,u,vはバチっと求まるわけではありませんが、整数kを使うと s=v=3+k, t=u=3-kと、全部kだけで表すことできます。
＜筆者の解答＞
