このシリーズでは、平成の一橋数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
一橋の後期は文系向けにも関わらず数Ⅲが出題範囲に含まれています。なので、どうしても数Ⅲの知識が不可避な問題については「※数Ⅲ必須」とコメントを付けておきます。数Ⅲやってないよ、という文系志望の方は、このコメントのない問題を中心に見ておけばよいと思います。
5回目の今回は2015年になります。
第1問
連分数に関する問題です。
(1)y≠0, yz≠-1は、絶対値の中身が0にならないようにする条件です。ということで0以外の最小値を探します。
もしyとzが同符号だと最小値をうまく決めることができないので、yとzが異符号になることが分かります。
(2)与式を変形すると、|y+1/z|=(xの式)とできるので、(1)の結果を利用してxの候補を絞ることができます。候補を絞ったら、各xの候補について虱潰しに検討するのみです。
(1)で考慮していなかったy=0の場合の検討を忘れずに行っておきましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
放物線と直線が接する条件、2次方程式が整数解を持つ条件を処理する問題です。108という数字に一瞬ビビりますが、怖がらずに平常心で処理していきましょう。
放物線と直線が接する条件は、両者の式を連立してできるxの2次方程式が重解を持つ条件として処理できます。これによって、108qをpの式で書くことができます。その後しばらくはpについて深堀していきます。
次にf(x)=0を解の公式で実際に解いてみると、それらが整数解になる条件から、実はpが整数だと分かります。さらに√の中身が平方数になることからp=6n^2 (n:自然数）の形に書けることが分かります。
こうすることで、qがnの式で書けるので、それが整数になることをチェックすればOKです。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の問題です。
(1)p3はAかBがストレートで3連勝すれば達成でき、p5はAとBが2勝ずつすれば自ずと達成されます。p4については、1-p3-p5で計算できます。
※p4は、勿論片方が2勝しもう片方が1勝した状態で前者が勝つ、という計算でも求まります。
(2)(3)
(1)の結果を愚直に処理していくだけです。
＜筆者の解答＞
第4問
2つの円と直線の交点に関する問題です。
問題文の状況を図に書いてみると、実はRかSがPQの中点であり、かつPかQがRSの中点になっている状況しかあり得ないことが分かります。
つまり、答案のように左からR→P→S→Qと並んでいるとすると、それぞれの点が等間隔に並んでいることが分かります。
ということで、直線の傾き, 4点のうち１つの座標、各点の間隔を文字でおいてしまえば、残り3点の座標をこれらで表現でき、それらが円周上にある条件から、連立方程式を解けばよいことが分かります。
ただ、なるべく対称性が生かせるように文字設定して解いていかないと泥沼に嵌ります。そして、実はaの値による場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第5問(a)
3次関数を使った２つの三角形の重なりを考察する問題です。
(1)各三角形の面積をs,tの式で表現して微分しましょう。すると求めるs,tが同じ値になることが分かります。
(2)a=2を境にしてy=f(x)とy=g(x)のグラフの上下関係が逆転するので、場合分けして考えます。
実際に図にしてみると、0<a<2のときはQがOAより上側にあること、a>2のときはPがOBの上側にくることが求める条件だと分かります。
＜筆者の解答＞
第5問(b) ※数Ⅲ必須
不等式の証明問題です。
与式の左辺に対して対数を取ったものをmとすると、mはf(x)=log(1+x)の「変化の割合」と解釈できる量になります。
よって、mと接線の傾きを図形的に大小比較することで、この問題の証明ができます。
＜筆者の解答＞
