このシリーズでは、平成の北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
16回目の今回は2004年になります。
第1問
方程式の実数解の個数にまつわる、極限の計算問題です。
方程式の右辺は正の領域を単調増加していくので、ある領域まではsinxの山の部分と2回ずつ交わり、それ以上は交点を持ちません。
その境目となるのが、y=sinxとy=e^(x/n)-1が接するタイミングなので、そのタイミングtnを求めるとよいでしょう。
そのtnが2mπ≦x≦(2m+1)πにあるとき、解の個数Pnは2m+1とかけることになるので、あとははさみうちの定理を利用しましょう。
＜筆者の解答＞
第2問
ユークリッドの互除法を背景とした論証問題です。
この問題の操作Gは、ユークリッドの互除法そのものな操作になっています。
(1) とりあえずyが小さい順に(x,y)を書き出すと(0,1), (1,2), (1,3), (2,3)・・・といった感じになるので、これらにGをかまして何回すればレベル0になるかを考えればよいでしょう。
(2) y=kx+x', y'=x (k:任意の自然数）という操作なので、(x', y')=(a,b)を逆算しましょう。
(3)申し訳ありません。この小問は完璧に解くことはできませんでした。
n=lのときに、al≦x, al≦bl, x<yは成り立っていて、あとbl≦xが言えれば解決なのですが、それがどうしても示せず・・・
(4) (3)の議論から自明でしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
パラメータ表示された曲線の囲む面積を求める問題です。
(1) yをtで微分して増減を調べます。
(2)同様にxをtで微分すればxの増減が分かり、結果Cの概形が分かります。Cがx軸に対して対象なので、y≧0の部分の面積だけ考えれば実質OKです。tに変数変換して積分を実行しましょう。
＜筆者の解答＞
第4問
複素数平面に関する問題です。
(1) z=cosθ+isinθに注意して、z=z^2, z=1/z, z^2=1/zをそれぞれ解けばOKです。
(2) xy平面の話に置き換えて考えてしまいましょう。z^2=cos2θ+isin2θ, 1/z=cosθ-isinθに注意します。
(3) t=cosθと変換してtでSを微分して考えます。Sの式に絶対値が登場していたので、中身の正負による場合分けが必要です。
(4)最大値の候補が２つあるので、それぞれ愚直に計算して大小比較するほかないでしょう。
＜筆者の解答＞
