「平成の～」で漏れていた2021年度の北大理系数学の後期入試の問題を解いていきます。
※2020年はコロナ感染拡大の影響で後期入試が中止になりました。
第1問
4次関数の変曲点に関する問題です。
(1)f''(x)=0となる点が変曲点です。
(2) (1)の結果から瞬殺でしょう。
(3) Cとl以外の交点を求めれば、標準的な積分の問題です。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトルの配置に関する問題です。
(1)P,Qは長ったらしい式ですが、PQとOMはかなりスッキリした式になります。
(2) (1)の結果からPQとOMが平行になることが分かります。P,M,Qが同一直線にあることは自明なので、これで証明完了です。
(3)POとPMの長さを地道に計算して処理しましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
確率の計算問題です。
カードを戻さない設定なので、順番を考えずに「一度に複数枚引く」と考えることが基本になります。
(1)最後に1を引くパターンしかあり得ません。
(2)9枚目に1を引くパターンを計算します。
(3) (2)のほかにA9と両立しうるのは9枚目に2を引くパターンです。ここから条件付き確率が求まります。
＜筆者の解答＞
第4問
整数問題です。是非とも誘導無しで(3)を解けて欲しい問題です。
(1)平方数の有名な性質ですね。
(2) (1)の知見を活かし、両辺を4で割った余りを考えます。
(3) (2)の結果から、和と差の積の因数分解＝数字に出来るので、それを糸口に解いていきます。
＜筆者の解答＞
