このシリーズでは、平成の九大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
3回目の今回は2017年になります。
第1問
2つの法線の交点に関する問題です。
(1) l1, l2の式を求めて連立すればお終いです。pとqについて対称な形をしているので、方程式を解く際は√p-√qで括ることを意識するとよいでしょう、
(2) (1)の結果を用いて素直にRPを計算すればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
確率の問題です。
a~cの最大公約数が何になるかで場合分けをして考えればよいのですが、a~cが互いに素＝最大公約数が1となる場合が圧倒的に多いので、最大公約数が2以上について先に検討すると見通しがよくなります。
＜筆者の解答＞
第3問
空間座標での座標値と面積を求める問題です。
(1)E,Fは内分の式を使うだけなので瞬殺だと思います。Gについては、直線BC上の点をパラメータ表示してx=3/2となるパラメータを決めることで求まります。
Hについては、平面EFGの式をx,y,zで表現してHがその上にあることからパラメータを決定します。
(2) FG, FHの両ベクトルを計算すれば、公式に突っ込んで終了です。
＜筆者の解答＞
第4問
関数の概形と極限の問題です。
(1)合成関数の微分ですね。ごちゃごちゃしていますが慎重に計算すればよいでしょう。
(2) さらにf''(x)を計算すると、f'(x)≦0, f''(x)≧0となるので、基本は下凸の単調減少のグラフになります。
(3) ヒントにあるようにネイピア数eの極限の形に持ち込みましょう。
＜筆者の解答＞
第5問
フィボナッチ数列を題材にした論証問題です。(1)はともかく、(2)以降は難しく、捨て問にして構わないと思います。
(1) 実質an+1>anが証明できればOKです。帰納法で証明しましょう。
(2)m=2を例外として、m≧3は、a1,a2を両方使用する必要はありません。なぜならa3=2なので、2を表現したければa3で事足りるからです。
これに注意してm=3,・・・,lが題意を満たすと仮定すると、m=l+1は、lを表現するときに使ってないa1,a2のいずれかを追加すれば表現できます。
(3)実際にmを表現できる項の個数の最大値kを実験して調べてみると、m=an-1になった瞬間にkが1大きくなることが分かります。この結果からk=lとなるmの範囲は、a(l+2)-1≦m<a(l+1)-1になると分かります。
あとは(1)の結果を使って、a(l+2)を評価していきましょう。
＜筆者の解答＞
