このシリーズでは、平成の東北大理系数学の後期入試の問題を1年ずつ遡って解いていきます。
27回目の今回は1992年になります。
第1問
関数の極値を調べる問題です。
絶対値を外しつつ、微分して増減を調べればよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第2問
不等式証明の問題です。
直接の証明は難しそうなので、数学的帰納法の利用を考えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
第3問
空間内の２点間の距離の最大値を求める問題です。
Qの角速度をωとするとPの角速度は2ωとなるので、それを利用してP,Qのt秒後の座標を求めてあげるとよいです。
PQ^2を計算すると、最終的には、X=sinωtとしたときのXの３次関数の最大値を考える問題に帰着します。
＜筆者の解答＞
第4問
確率の問題です。
強風だった日からn日後に強風になる確率anの確率漸化式を立てればよい、と気づければ見通しが良くなります。
＜筆者の解答＞
第5問
微分方程式の問題です。
(1) Pのx座標をtとして、条件に従って処理していきます。
(2) (1)の結果にはf(x)f'(x)の形が登場しますが、これは[f(x)]^2を微分すると出てくる形です。それに気付ければ微分方程式を解くことができます。最終的に求めるのは、あくまで「Cの方程式」なので、f(x)を求めただけで終わりにしないように注意しましょう。
＜筆者の解答＞
