私大文系入試で最高難易度と呼び声の高い、早稲田大学商学部の数学の問題を解いていきます。
18回目の今回は2005年です。
第1問(1)
３次方程式の解に関する問題です。
解がm-1, m, m+1の３つだとして、解と係数の関係を使ってm,p,qを求めていきます。
＜筆者の解答＞
第1問(2)
絶対値の付いた積分を計算する問題です。xの値で場合分けして絶対値を外すのが第一です。その上で、面倒ですが計算していきます。
＜筆者の解答＞
第1問(3)
1~100000までの数字で「７」が登場する回数を求める問題です。
100000は「７」を含まないので、実質5ケタの数字で「7」がm個あるものが何個あるかを調べていく問題になります。
（※４ケタ以下の数字でも、先頭を0にすることで実現可能です）
最後にこれらを足す場面では、２項定理をうまく使うと計算が楽になります。
＜筆者の解答＞
第1問(4)
全ての頂点が格子点になるような正四面体の体積を考える問題です。
まず、全部の頂点が格子点だとすると、平行移動をすることで、４つの頂点のどれかを原点(0,0,0)に合わせることができます。なので、残り３つの頂点をA(a,b,c), B(p,q,r), C(s,t,u)とおいて、このa~c, p~uの組み合わせを探すことになります。
1辺の長さがLだとすると、四面体の体積はLだけの式で書けて、OA=OB=OC=AB=BC=CA=Lを使うことで、L^2が偶数だと分かります。
今回、四面体の体積の最小値を考えたいので、とりあえずL^2=2になってくれる組み合わせがないかを探っていくとよいでしょう。このとき、座標値の組み合わせは「1」が２つ、「０」が１つ、とすればいいので、辻褄合わせをしていくと、無事、L^2=2の場合がOKだと分かります。
＜筆者の解答＞
第2問
図形問題です。
(1)円周角の定理から、長さが4の弦に対応する円周角はすべて等しく、同じく長さが7の弦に対応する円周角もすべて等しくなります。前者をα、後者をβとすると、求める角度はα+βとなります。
(2)余弦定理からαとβの三角比がrの式で求まるので、(1)の結果を使ってrを求めていきます。
この(1)の結果の使い方も工夫が必要で、単純にcos(α+β)としてしまうとrの式がとても複雑になって解けなくなってしまいます。
αの三角比の式の方がβの三角比よりも単純で、なおかつcosの方がsinよりも単純になっているので、cosβ=cos(α+β -α)と適用してあげるのが、一番式変形が簡単に済むと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
数列の項数を求める問題です。
(1)p=1のときは、自動的に(i)はクリアされるので、(ii)だけ検討すればOKです。akが単調増加なことに注意すると、(ii)はa1=a≧100かつan≦1000と言い換えることができます。
nを最大にしようと思ったら、aを出来るだけ小さくすればよさそうですね。
(2) p≧2のとき、pとp+1は互いに素なので、a自身がp^(n-1)の倍数になることが(i)が成り立つ必要十分条件になります。
そのとき、(1)の結果よりも大きいnで(ii)を満たしうるかを調べればよいことになります。
＜筆者の解答＞
