このシリーズでは、東京大学の後期の数学の問題を解いていきます。
12回目の今回は1996年です。
第1問
場合の数の問題です。「ボールの区別の有無」「箱の区別の有無」と設定がややこしいですね。
(1)これが一番単純なパターンです。各ボールにつき、入れ方が3通りあります。
(2)ボールに番号がないということは、A~Cの各箱に入る個数だけに注目すればいいわけです。この手の場合の数は、仕切りを入れて横一列に並び変える方法、として調べるのが定石です。
(3)今度は逆にボールの方が区別がつき、箱の区別がつかない場合です。これは(1)で考えた場合の数の重複度合いを考えてあげればよいでしょう。
ボールが1つの箱のみに入る時は3倍の重複が発生していて、ボールが2つ以上の箱に入る時は3!=6倍の重複が発生しています。
(4) ボールも箱も区別がつかない場合です。これは、6m個のボールをa個, b個, c個 (a≦b≦c)にわける方法を調べていくことになります。3文字を一気に考えるのは厳しいので、1文字を一旦固定して調べるとよいです。
＜筆者の解答＞
第2問
等面四面体に関する問題です。
(1) 実際に四面体を組んで、ベクトルで処理するのが良いと思います。内積については余弦定理から求まります。
(2) (1)から引き続き内積から「垂直」の関係を調べて・・・・でも行けるかもしれませんが、ここは「等面四面体＝4つの面が全て合同な四面体」の性質を使うのが一番早いです。等面四面体は、対応する直方体から4隅の三角錐を切り取ることで作ることができます。
＜筆者の解答＞
第3問
微分方程式の問題です。
時刻tでのタンクの中の油面の高さをh、残存する石油の体積をVとすると、問題文の条件からdV/dt =-k√hと書くことができます（kは正の定数で、油の量はどんどん減るのでマイナスが付いています）。さらに積分を使ってVを直接hの式で書くことができるので、ここからhの微分方程式が求まる、という算段になります。
＜筆者の解答＞
