このシリーズでは、東京医科歯科大学の数学の問題を解いていきます。
23回目の今回は2000年です。
第1問
3本の直線、３つの平面の共有点に関する問題です。
(1)l2とl3の交点がl1を通る条件、で基本的には処理していくことになります。
ただ、l2とl3が平行になる場合があり、それは個別に調べる必要があります。
(2)考え方は(1)と同様ですが、3つの方程式を連立して解くのが高校範囲だと非常に厳しいです。（大学1年の「線形代数」で、3×3の逆行列を求める方法を学ぶことになります。答案ではそれを使って最終結果だけ書いています）
頑張って解くと、(a-b)(b-c)(c-a)≠0のときは3平面の共有点はただ1点となって不適となることが分かります。
ということで、共有点が2個以上になるためには(a-b)(b-c)(c-a)=0となっていることが必要になるので、場合分けして検討していきます。途中でもa~cが0になるか否かといった細かい場合分けが発生します。
＜筆者の解答＞
第2問
複素数平面の問題です。
(1) z=x+iyと変換すると、「x+y=0またはx-y=0」が言えます。
(2) α=1/2-√3/2iとおいてw=αzとすると、(1)に帰着できます。αは「原点周りに-60°回転させる」効果があるので、結局(1)の答えを「原点周りに+60°回転させ」ればよいわけです。
(3)係数が虚数になっていると考えにくいので、できるだけ簡単にしていきます。(2)で登場したαに対してβ^2=αとなるようにβをとってω=βzとすると、係数を全て整数にできます。さらにω=X+iYと変換すると、最終的に楕円の式に帰着できます。
＜筆者の解答＞
第3問
点の速度・加速度、道のりに関する問題です。
さきに問題文からPとQの座標をtの式で表現しておくとよいです。
※Qの解釈を誤っていたため、修正を行いました。
(1)Qの座標を2回tで微分するとQの加速度が求まるので、それが0になる瞬間をt=t0とおいて連立方程式を解いていきます。三角関数を2乗の和で消去する、という発想で攻めるとよいです。
(2)Qの「速さ」は、Qの座標の1回微分（つまり「速度」）の大きさです。この速さをtで積分してあげると道のりLが求まる流れになります。
＜筆者の解答＞
以下、Qの解釈を誤ったが故の誤答です。道のりの積分計算で詰んでしまいます。
※詳細：Qの角速度ωを、「Pから見たときの角速度」と勝手に解釈してしまっていました。正しくは、ωは「Ｏから見たときの角速度」です。
