このシリーズでは、奈良県立医科大学の後期の数学の問題を解いていきます。
3回目の今回は2020年です。
第1問
1次不定方程式に関する問題です。
このタイプの方程式は無数の整数解(x,y)の組を持ちます。両辺をaで割った余り、あるいはbで割った余りを考えることで、この解の一般形が求まります。
あとは、x,yが同時に0以上になりえないことを説明すればOKです。
＜筆者の解答＞
第2問
点列の極限に関する問題です。
(1)△A0B0C0は正三角形になっていて、定義から次々に小さな正三角形ができていきます。これに気付ければ一本道です。
(2)以降は、申し訳ありません。まともに解けておりません。
rnは、xA, xB, xCの最大値と最小値の差になっていて、(2)ではそれを不等式評価して、(3)ではそれを使って極限を考える流れです。
(2)の結論からrnが0に収束することが分かるので、xA, xB, xCが1つの値に潰れることが分かります（あるいは全部∞に発散する）。この議論はy座標に関しても同様です。そして、おそらくですが、次々と新しい相似な三角形ができていって最終的には重心（外心や内心の可能性もなきにしもあらず）に収束するんだろう、と予想は出来ます。
(2)については、xA, xB, xCのそれぞれを不等式で挟んで評価しようと試みましたが、どうしてもrnが余計に右辺に1個残ってしまってうまくいきませんでした。評価が甘かったわけですが、これ以上厳しい評価の仕方を思いつけませんでした。
(3)も上記のロジックで、極限が等しい事は分かっても、極限値の特定まではできずでした。（元の漸化式に全部極限値を代入しても、恒等式になるだけで無意味です）
機会を改めて考え直してみようと思います。
＜筆者の解答＞
第3問
整式の因数分解に関する問題です。
(1)対称性が高いが故にかえって方針に迷ってしまうかもしれません。そんなときは初心に帰りましょう。「ある1文字について整理して因数分解する」です。結果、F1=(x+y)(y+z)(z+x)と因数分解できます。
(2) (1)と同様に考えればFnも因数分解出来、結局x^n+y^nたちの積となります。nが奇数なら、x^n+y^nが因数分解出来てx+yで割り切れますよね。
＜筆者の解答＞
第4問
数列の最小周期に関する問題です。
(1)周期がqなら、任意のnについてan=an+qが言えます。ここに最小周期の情報an=an+pを何度も使うことで、an=an+q-mpとできます。但し、mはq-mp≧0かつq-(m+1)p<0となるような自然数です。
このときに、q-mp>0だとqがpで割り切れないことになるので、この仮定を置いたときに矛盾することを説明します。具体的には「最小周期pより短い周期が作れてしまう」という矛盾です。
この矛盾を導く背理法を、この問題では何度も使うことになります。
(2)anで番号をi個分だけずらした数列を考察する小問です。これについても、an(i)とan(j)が一致してしまうようなi,jがあると仮定して、(1)と同じ矛盾を導いていきます。
(3) (2)の結果を利用します。
まず{an}の総数は、a0~ap-1のp個の項に1~cまでのc通りの値を当てはめるので、c^p個存在します。このうち、最小周期が1ではなくpとなるものは、a0=・・=ap-1となるc通りを除いたc^p -c個あります。
このとき、a0~ap-1を固定すると、番号を1つずつずらして出来る数列an(0)~an(p-1)は、(2)から全部異なっているので、この時点でp通りの数列が作れます。
あとはa0~ap-1の中身の数字を色々変えたものに対しても、それぞれp個ずつ対応する数列があることになるので、結局それらの総数c^p -cはpの倍数だと言えることになります。
この結論はcがpの倍数なら当たり前の話ですが、cがpで割り切れない場合には「フェルマーの小定理」という名前が付いています。
＜筆者の解答＞
