このシリーズでは、奈良県立医科大学の後期の数学の問題を解いていきます。
10回目の今回は2013年です。
第1問
積分方程式の問題です。
与式の定積分をAと文字でおいて、Aの式にf(x)の式を代入してAを決定するという典型問題です。
＜筆者の解答＞
第2問
ベクトル列の問題です。
(1)今回の問題は、vnの一般項を調べてもうまく解けません。vnの一般項は調べると、{A^(n-1)+A^(n-2)+・・・+A+E}v1で計算できるのですが、Aの累乗の計算が面倒なので、v1に係ってる行列の正体がよく分からないのです。
なので、今回登場する文字が全て「整数」であることを利用して解いていきたい所です。
vkが0になるので、vkを漸化式を使ってvk-1の式で表すと、bxk-1 = -1となって、xk-1が整数なので、bが1の約数でないといけないと分かるわけです。
(2) vk=0となっているので、漸化式を使うとvn+k =vnが分かり、結局vnは周期kで一巡することが分かります。周期があるということは、vnの取りうる値は有限個しかなく、そのどれも成分は有限の値です。
ということで、vnの成分が発散することはありえません。
(3)(4)
xnの漸化式を解いて、xnの一般項が発散するかどうかをチェックします。もし発散してしまうと、(2)の結果に反するので不適となります。
(3)ではb=-1のとき、a≠0だとxnが必ず発散することを示し、(4)ではb=1のとき、|a|≧2だとxnが必ず発散することを示す流れになります。
ちなみに、(4)では「b=1のとき、|a|<2では必ずOKである」を証明する必要はありませんが、その場合の話をしておくと、|a|<2のとき、xnの一般項に出てくる公比が両方とも「絶対値が1の虚数」になります。このような虚数の累乗は周期性を持つ「可能性」があります。
具体的には、cosθ=a/2, sinθ=√(4-a^2) /2とおいたとき、このθが「πの有理数倍」であれば周期性を持ち、それ以外の時は周期性を持ちません。例えばa=1ならばθ=π/3なので周期をもち、a=6/5ならばcosθ=3/5, sinθ=4/5でθは「πの有理数倍」にならないので周期性を持ちません。
ということで、「b=1のとき、|a|<2では必ずOKである」とは必ずしも言えません。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数の接線に関する問題です。
3次関数のx=tにおける接線が(1,1)を通るとしたときにできるtの3次方程式がちょうど２つの実数解を持つ条件を考えていけばよいです。
方程式の左辺の極値＝右辺となっていれば条件達成です。
＜筆者の解答＞
第4問
2項係数が素数で割り切れるか否かを調べる問題です。
(1)これは有名な性質です。pCiを分数の形に書くと、分子には素因数pが入っている一方で分母にはpが含まれていません、ということで、分子のpはどうあがいても約分されずに生き残るため、pCi全体がpの倍数だと言えます。
(2)以降でも、pと(p-1)!が互いに素である、という性質を利用していきます。
(2)解法選択が悩ましい問題です。最初、npCpをpで割った余りを調べるのがかなり面倒に感じたので、帰納法を使おうかと考えましたが、うまくいきませんでした。
結果的には、最初に候補から外した、「npCp -nを力ずくで計算する」という解法でうまくいきました。
npCp -nを分数の形にして通分すると、分母分子がpで割り切れ、かつ分子全体がnで括れることが分かります。その状態でn以外の残りの分子についてmod pを考えてあげることで、分子がpで割り切れることが分かります。
分母には(p-1)!しか残らないので、「pと(p-1)!が互いに素」という性質から分子の素因数pは必ず生き残ります。
(3) (2)の結果を利用して合同式を使えば容易に示せます。
(4) mをpで割った商をk, 余りをjとすると、[m/p]=kとなるので、結局(kp+j)Cp -kがpで割り切れることを証明することとなります。
j=0のときは(2)の結果からpの倍数になることが分かっているので、jを1つずらした者同士の差、{ (kp+j)Cp -k} - { (kp+j-1)Cp -k} がpで割り切れれば、全てのjに対し(kp+j)Cp -kがpで割り切れることが、帰納的に示せます。ということで、
{ (kp+j)Cp -k} - { (kp+j-1)Cp -k} ＝ (kp+j)Cp - (kp+j-1)Cpがpで割り切れることを証明します。
この2項係数の差は、お馴染みの「アイドル選抜の公式」により、(kp+j-1)C(p-1)と計算できるので、これを(2)と同じように分数に直していきます。
すると、分子にはかならずpの倍数が含まれていて、分母は(p-1)!しかないので、同様の議論でpが生き残ると言えます。
＜筆者の解答＞
