2023年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、北海道大学理系数学に挑戦します。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1: 複素数平面上の円(30分)
2: 平面と球面都の交線(20分)
3: 関数の増減と方程式(25分)
4: 絶対値の和に関する確率(80分)
5: 円と接線に関する点が一直線上に並ぶ条件(90分)
計245分
<体感難易度>
2≦1≦3<<5<4
流石に昨年が難し過ぎたので反動で易化するかと思いきや、今年も難しいセットでした。「前半が難、後半が標準」だった昨年とは逆に、「前半は標準、後半が難」という順番で、第３問から第４問に移った時にはパニクりましたね。。。北大に関しては、今後しばらくはこの難化傾向が続くかもしれないですね。
第１問は標準的な複素数平面の問題、第２問はよくある空間図形の問題、第３問は関数の最大値を考察する問題で、この比較的易しめな前半３つで完答しておかないと、今年に関してはどうしようもなかったでしょうね。
第４問の確率は、絶対値の和という厄介極まる題材で本番では捨て問確定ですね（せいぜい(1)を解いておくくらい）。第５問は意外と発想力というか引き出しを多く持っておかないと解法選択で詰んでしまいます。
<個別解説>
第1問
複素数平面上の円に関する問題です。
(1)数学的帰納法で考えるのが良いでしょう。Ckの式をwの式に書き換えることでCk+1の式ができます。
(2) (1)の結果を図に描けば、視覚的にdnを検討することができます。その際、Cnの内部にOがあるか否かで場合分けが発生することに注意です。
＜筆者の回答＞
第2問
平面と球面都の交線に関する問題です。
(1)図を描いてしまえば三平方の定理で事足りる計算です。
(2)αの式から法線ベクトルを調べることが重要ですね。
(3) 直線OC上の点Qをパラメータ表示して、PQが最小になるようにQの位置を調整してあげればよいです。
＜筆者の回答＞
第3問
関数の増減と方程式の問題です。
(1)これは基本問題ですね。y=f(x)のグラフの形状を調べて、これとy=kとの交点を調べればOKです。
(2)与式の左辺がf(x)f(y)と分離できることに気付くのが第１歩です。(1)で考えたy=f(x)のグラフからcの取りうる値が分かり、対応するx,yの個数も(1)の結果から分かります。
(3) f(y)をf(x)の関数にして、f(y)の取りうる値を調べてしまうのが良いです。
＜筆者の回答＞
第4問
絶対値の和に関する確率の問題で、本セット最難問・捨て問です。私自身全く自信がありません。。。
(1)K3の式を具体的に書き下して、a1の値で場合分けして残りの(a2, a3)を力づくで調べるしかないと思います。本番ではこの小問だけ手を付けるのが精々でしょうね。
(2)絶対値が外れやすい特別な場合、a1≦a2≦・・・≦anを代入してみるとKn=5となります。逆順を試すとKn≧5となるので、おそらくKnの最小値qnは5なのではないかと予想できます。
これを確かめるには、Kn=0,1,2,3,4の場合があり得ないことをチェックすればよいわけですが、この部分を厳密に記述するのは難しいと思いますね。
大雑把には、a1~anの間の全体の値の変動幅とKnの値が食い違う、というイメージになるのだと思いますが、とにかく書きにくいです。
qn=5で、少なくともKn=5となる条件の１つがa1≦a2≦・・・≦anなことはわかりますが、それ以外の場合がないことの証明ができてなくて済みません。この条件が必要条件であってくれれば(3)が解きやすいという、決め打ちです。。。
(3) LnはKn=5かつa4=4の時に最小になります。(2)と合わせると、
a1≦a2≦a3≦a4=4≦a5≦・・・≦anとなるような、a1~anの組み合わせの個数を調べることに帰着します。a1,a2,a3で1~4がどう分布するか、a5~anで4,5,6がどう分布するかを考えていきましょう。
[訂正]最後の(a1, a2, a3)の組で(1,4,4)が抜けていたので、総数は20通りになります。よって、rnの結果の分子の19を20に読み替えて下さい。
＜筆者の回答＞
第5問
円と接線に関する点が一直線上に並ぶ条件に関する問題です。解法の引き出しの多さが明暗を分ける問題です。
(1) (3)の先取りとなりますが、2倍角のsin, cosと、1倍角のsinとcosが混在したf(θ)のような関数は、微分したところで増減がうまく調べられません。(1)については敢えて微分せずに考えてみることをお勧めします。
θ=0とθ=π/2とすると、f(θ)の値は異符号となっています。言うまでもなくf(θ)は連続な関数なので、どこかでθ軸を跨がない限りこんなことは起きません。これで「f(θ)=0には解が最低１個はある」という題意が示せました。
(2)解法はいくつかあると思いますが、答案では台形を利用してDの座標を導出しています。その心は、BDとOPが平行だという事です。
(3)A,P,Dが一直線上にある時、APとPDは平行になります。この条件を処理すると、(1)で登場したf(θ)=0そのものになります。解が「最低」１個あることは(1)で証明済みですが、(3)では「解は『1個』しかない」ことを示さないといけません。
前述のとおり、f(θ)は、微分したとて符号判定が即座にできる形には残念ながら変形できません。色々変数変換を試しましたがどれもダメでした。
示したいのは「f'(θ)>0であれば、f(θ)は単調増加なので、解が１つしかないと言える！」です。何とかしてf'(θ)>0を示したいのです。（解いた時間90分の内、実はほとんどがこの部分の試行錯誤です）
f'(θ)から、値が正だと分かりきってるもの（今回の場合はsinθとcosθ）を因数として括っていくと、sinθ、cosθの逆数の形の関数が現れます。これでも符号判定はかなわないのですが、ダメ元であることを試しました。「相加相乗平均」です。
相加相乗平均を使うことで、f'(θ)を精度よく下から押さえることができ、その中でだけsinθとcosθと動かしてあげると、なんと、1-√(2ab)というシンプルな形で抑えられます。
b≧aの仮定をおくと（対称性からそうしても問題ない）、a^2+b^2<1からaの値に制限が入り、そのもとでグラフを利用することでab<1/2がわかります。
これで、1-√(2ab)>0が言えたので、晴れてf'(θ)>0が言えました！！
いや～難しかったですが、いざ解法が見つかると達成感が凄かったですね。
＜筆者の回答＞
