2024年も大学入試のシーズンがやってきました。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1(1). 不等式 (5分)
1(2). 数列の最大値(45分)
1(3). 漸化式(15分)
1(4). 放物線と接線が囲む面積(15分)
2. 四角形の面積が2,3番目に大きくなる点の配置の考察(80分)
3. 立体交差する2直線上の点による三角形の面積(50分)
計210分
<体感難易度>
1(1)<1(4)<1(3)<<3<2<1(2)
相変わらず本当に文系向けかと思うような難しいセットですが、昨年よりは多少はマシになった気がします。
第１問は例年通り小問集合です。
(1)はただの不等式を解く問題なので落としてはいけないでしょう。
(2)は本番では捨てるべき難問です。
(3)は少し式を弄ると解けるタイプの漸化式ではありますが、問題文が少し不親切だと思います。
(4)はよくある放物線の面積なので、仕留めたいところです。
第２問は面積が2,3番目に大きくなるような点の配置を考える問題で、過不足なく数え上げることと面積の大小比較が結構面倒です。
第３問は基本的にはベクトルの処理なのですが、(2)では計算のごり押しだけだと必ず詰むタイプであり、図形的考察が必須です。
<個別解説>
第1問
小問集合です。
(1) 単純に不等式を解く問題なので落とせません。
44×46=2024になることがミソで、左辺を通分すると分子からnが消えてくれるのが嬉しいポイントです。nについて正確に不等式を解く必要はなく、整数部分だけ分かれば十分なことに気を付ければ余計な計算を節約できると思います。
(2)初見では何したらいいのかよく分からない不等式評価の問題で、初見では捨ててしまっていいと思います。
最初、anは何かしら文字式になるのではと踏んで進めましたが、うまくいきませんでした。なので、a1=1を軸にa2以降を具体的に求めてしまう作戦に方針転換しました。
まず、シグマの不等式から、実はa1<a2<・・・<anでないといけないことが分かります。それともう一つの不等式からai+1を上から抑えることができるので、これを利用してa2以降を調べていきます。
a2は2ときっちり求まりますが、a3以降は複数個候補が出てきてしまいます。今回はanをできるだけ大きくしたいインセンティブがあるので、候補の内最大の物をa3の値として採用してa4以降もシグマの不等式が破れるまで同様に検討します。
逐一不等式をチェックする必要があり、かつ３乗や4乗の計算が面倒なことも相まって、初見で解くには厳しいと思います。
(3)漸化式の問題で、式の形から対数を取れば良さそうなことは容易に想像できます。が、対数を取るには真数条件をクリアしてないといけません。
a2以降を実験して調べてみると、奇数番目の物は符号が一意に定まりません。なので、全体を絶対値を取ってから処理しないといけないですね。なので、この問題は本当は「an>0」という条件を別途書いておかないとanの一般項が求まりません（|an|は求まるけど）。この点が不親切な部分だと思いました。
対数を取った後は、なるべく面倒事が起こらないよう、階差数列にすることを目指して処理するとよいでしょう。
(4)放物線と接線で囲まれる領域の面積を考える問題で、これは典型問題と言えます。
最初に接点を文字で置いて接線の式を作ってしまい、それがPを通る条件を処理するのが簡便ですね。あとは解と係数の関係も駆使しつつ積分計算を行うのみです。
＜筆者の解答＞
第2問
四角形の面積が2,3番目に大きくなる点の配置を考察する問題です。
(1)Rの面積は4つの三角形の面積の合計で計算でき、それぞれが中心角のsinを使って計算できます。
Rの面積が最大になるのは、それぞれのsinが最大値1を取る時で、このときRは正方形になります。まずこれに気付けるかが第1関門です。
ここでは2番目に大きい面積が欲しいので、この正方形を少し弄れば実現できそうです。具体的には正方形の頂点の内1つだけ（解答ではPd)を隣の点にずらしてしまえば達成できます。
面積計算にはcosπ/12の値が必要になりますが、これは2倍角の公式で計算可能です。
(2)同様に3番目に大きい面積を考察するので、S2の状態からさらに1アクションを加えた状況を考えたいところです。（考えやすくするためにa<b<c<dを仮定し、Paは固定して考えます）
S2の時点で対称性が崩れているので、Pdをさらに動かすのか、Pbを動かすのか、Pcを動かすのかの計5パターンの1アクションが想定しうるので、それぞれについてRの面積を計算し、大小比較する必要があります。
S3の値が確定するとRの形状が決まるので、それが回転を考慮して何通りできるかを過不足なく数えないといけません。
この問題では、4枚引いたその組み合わせだけでRの形状が向き含めて確定するので、確率の分母は24C4となります。
＜筆者の解答＞
第3問
立体交差する2直線上の点による三角形の面積を考える問題です。
(1)Pの座標をパラメータ表示し、公式に代入して△PCDの面積を求めて平方完成で最小値を求めるという、ワンパターンの問題です。計算がかなり面倒ですが。
(2) 一瞬(1)と関係あるのかと勘繰りたくなりますが、実は(1)とは独立した設問です。空間図形を考えていてイメージしにくいので、基本的には計算のごり押しで進めるべきです。
Q,Rをそれぞれパラメータ表示して(1)同様△QABと△RABの面積をそれぞれ計算して足し合わせた関数を考えることになります。QR=√3の情報からパラメータを1つに統一できます。
しかし、ここで困ったことに直面します。出来上がった面積和の関数は、
√(2次式)+√(2次式)
の形になっていて、増減をうまく調べられません（数ⅡBの範囲ではもちろん、数Ⅲの知識を動員しても上手く処理できない形です）。
普通に微分するんじゃうまくいかないのだから、発想の転換が必要です。
図形の問題で√というと、2点間の距離が連想されますね。ということは、今回の関数は「2種類の距離を足したもの」と解釈可能です。
ここで演習経験を積んだ人ならピンと来るはず、そう「折れ線の長さの最小化」です。
この発想を生かし、面積和の式を「折れ線の長さ」と解釈して図形的に解いてしまうのです。折れ線の長さとくれば、対称な点を作って一直線に引っ張るんでしたね。
こう考えることで、微分では困難な関数の最小値を容易く求めることができてしまうわけです。ここに気付けたかが明暗を分ける問題となりました。
＜筆者の解答＞
