2024年も大学入試のシーズンがやってきました。
今回は、北海道大学の理系数学に挑戦します。
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1. 三角関数でパラメータ表示された点の軌跡(10分)
2. 八面体のサイコロ(35分)
3. 漸化式(10分)
4. 三角形の内心のベクトル表示(15分)
5. 接する2曲線に関する面積(25分)
計95分
<体感難易度>
3<1<4<5<2
去年一昨年の激難セットは一体何だったのか、と言わんばかりに非常に簡単なセットでした。おそらく去年一昨年の問題が難しすぎて数学力をうまく試験で測れなかったから軌道修正した、ということなんでしょうけど、それにしたって簡単になり過ぎです。
正直点差が付くのは第2問、第5問くらいのもので残りの3問は完答しないと話にならないと思います。
<個別解説>
第1問
三角関数でパラメータ表示された点の軌跡の問題です。
(1)x座標が一致する条件と、y座標が一致する条件を両方解いて、ダブるものを抽出する、ただそれだけの問題です。「すべて求めよ」とあるので、一般角にする+2nπを忘れないようにだけは注意しましょう。
(2)x座標はcostの2次関数となるため、結局軌跡は90°倒れた放物線になります。
＜筆者の解答＞
※図1にy切片を書き忘れてしまいましたが、y=±1/√2です。
第2問
8面体のサイコロを振る確率の問題です。文系第4問は設定を同じくする廉価版となります。
(1)1がa回、2がb回、3がc回出るとすると、持ち点TはT=a+2b+3cとなります。T≦2となる(a,b,c)の組み合わせを調べて確率計算しましょう。
(2)T≧10かつa+b+c≦4となるような(a,b,c)の組を同様に探します。答案ではa+b+c≦4となる場合のTの分布を全て列挙してます（おかげで文系のセットの(2)が解きやすくなりました）。
その上で、追加の2回でT≧17とできるのがどの場合なのかを、その各々について丹念にに考察していきましょう。
＜筆者の解答＞
第3問
漸化式の問題です。
(1)教科書レベルの漸化式であり、特性方程式を解くことで容易に解けます。
(2)積分の部分のみが不明なのでbnとおいて、bnの漸化式を作りましょう。するとbnの漸化式はanと全く同じになることが分かります。
＜筆者の解答＞
第4問
内心のベクトル表示を求める問題です。
(1)教科書レベルであり、説明不要でしょう。
(2)内心Iは、三角形の角の2等分線の交点なので、そこから比の情報が分かります。あとはIを2通りで表現し、係数比較を行えばよいです。
(3)OHも内積=0を使って求められます。
＜筆者の解答＞
第5問
接する2曲線に関する面積を求める問題です。
(1) x=tにおけるCの接線が原点を通る条件を考えればよいです。
(2) f''(x)>0を示せればお終いです。
(3)計算する積分は実質xlog(x+2)の積分なのですが、意外と計算が厄介です。s=x+2とlogの中身を軽くしてから部分積分を考えるとよいでしょう。
＜筆者の解答＞
