2024年も大学入試のシーズンがやってきました。
今回は、北海道大学の文系数学に挑戦します。
※原則文系ユニークの問題のみ解きます。理系との共通問題については理系の記事を参照下さい。
2024年度 北大理系数学 解いてみました。 - ちょぴん先生の数学部屋
<概略> （カッコ内は解くのにかかった時間)
1. 正の約数の総和 (15分)
2. 漸化式(5分)
3. 3次関数の積分(10分)
4. 8面体のサイコロ(10分) ※理系第2問の類題
計40分
<体感難易度>
2<3<1<4
北大文系も理系同様簡単なセットでした。
これも少なくとも第2問と第3問は完答できないとお話になりません。
<個別解説>
第1問
正の約数の総和に関する問題です。
(1)公式より(m+1)(n+1)個です！って答えるのも味気ないので、なぜそうなるかを図で説明しました。
(2) 6912=2^8×3^3と素因数分解されるので、6912の正の約数は2^m×3^n(0≦m≦8, 0≦n≦3)と書けます。このうち、「12の倍数」となるものは2≦m≦8かつ1≦n≦3を満たすものなので、こちらの総和を計算して、全体から引く形をとりました。
（○○かつ△△の条件の方が取り扱いやすいと感じたからです）
が、よくよく考えれば12で割り切れないものは、m=0,1またはn=0、つまり、(m,n)=(0,0)~(0,3), (1,0)~(1,3), (2,0)~(8,0)の高々15個しかないので、これらを直接足した方が楽だったかもしれませんね。
一応、約数の総和がなぜ公式の形になるのかを可視化した解答にしてあります。
＜筆者の解答＞
第2問
漸化式の問題です。
(1)この変換によってbnは階差数列の形になります。
(2) (1)の結果を解けばお終いです。
＜筆者の解答＞
第3問
3次関数に関連する面積の問題です。
(1)(2)
(1)はCの概形を微分で調べれば一目瞭然であり、(2)については改めて連立して3次方程式を解けばいいわけです。Cとlが接する点のx座標で重解を持つことから因数分解も容易です。
(3)積分計算ですが、最後まで展開しきらずにx+1/3を一塊にして計算すると楽です。
＜筆者の解答＞
第4問
理系第2問と設定を同じくする問題で、要点はほぼ理系の記事で解説しています。
よって答えのみ載せておきます。
＜筆者の解答＞
