旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の1997年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -1997年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
理系第1問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第2問
約数に関する同値性の証明問題です。
(イ)→(ロ)は比較的簡単に示せますが、(ロ)→(イ)の証明が難しいです。
〇(イ)→(ロ)について
60の約数を小さい順に6個並べると、1,2,3,4,5,6とキレイに連番になります。こうなっては、n÷60が何であろうと、約数のうち小さい6個は1,2,3,4,5,6で不動ですね。このとき、(ロ)が成り立つのはすぐに分かるでしょう。
〇(ロ)→(イ)について
こちらは難しいです。まず、約数の性質からしてa2は、「nの持つ最小の素因数」となるので、これをpと置きましょう。
(ロ)の式を変形すると、因数分解を使ってa3, a6をpの式で書くことができて、特にa3=p+1となることが重要です。
もし、p+1が素数でないとすると、p+1はpより小さい素因数qを持つことになります。でも、これは「nの持つ最小の素因数がp」という設定と矛盾します。よってp+1自体が素数でないといけないと分かります。
pとp+1が同時に素数になるのはp=2の場合しかありません。これでa2=2, a3=3, a6=6と確定できました。akは単調増加なので、a4=4, a5=5にならざるを得ません。
以上から、nは1,2,3,4,5,6の最小公倍数60の倍数だと分かり証明完了です。
<筆者の回答>
第3問
三角形の面積に関する問題です。
PQとBCが平行なので、AP:PB=AQ:QC=t:(1-t)と置けることが分かります。図を描いてみると、t<1/2の時はRが△ABCの中に、t>1/2の時はRが△ABCの外に来ることが分かります。
Sの面積を、三角形の相似比を駆使してtの式で表して増減を調べましょう。
<筆者の回答>
第4問
不等式の成立条件を考える問題です。
Mの式を求めて、m≧M÷積分の式を考えるわけですが、mが「M÷積分の式」の最大値以上であれば(＊)が常に成立するので、実質「M÷積分の式」の最大値を求めればよいことが分かります。
Mの式は当然a,bの値で場合分けして調べるわけですが、軸の位置が0, 1/2, 1とどういう位置関係になっているかを調べればいいので、a,bそれぞれというより、b/aの値による場合分けになります。y=(ax+b)^2は「2次関数」と指定されているので、a=0の場合は除外できます。
こうして「M÷積分の式」を計算できるわけですが、aとbが混在していて分かりにくいです。ここで、Mの式を考えるときにb/aで場合分けしたことを思い出して式を眺めると、分子も分母も2次式になっていて、それぞれをa^2で割り算するとb/aだけの式になることが分かります。こうしてr=b/aとすると、考える関数はrだけの分数式になりました。
理系の知識があればここからいきなり微分してごり押す手段もありますが、文系向けということで、文字を分母に集中させて平方完成を行うとよいでしょう。
<筆者の回答>
第5問
理系第5問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
