今年度の入試挑戦の最後は、東大文系です。
＜概略＞ （カッコ内は筆者が解くのにかかった時間）
1.三次関数とｘ軸で挟まれた領域が格子点を1点だけ持つ条件（31分)
2. 8本の直線からなる交点から5点を選ぶ場合の数 (33分)
3. 直線の通過領域と正三角形成立条件 (42分)
4. 2進数の積と和についての問題 (99分 ※結局解けず断念) ※理系第4問と共通
合計205分 （参考：試験時間100分）
＜体感難易度＞
易レベル：なし、標準レベル： なし、やや難レベル：1,2,3 、難レベル：4
文系の方も難しい問題が並びましたね。特に理系との共通問題である第4問は理系でも難問の部類に入り文系では捨て問確定なので、実質3問での試験であり、その3問も文系向けとしては完答は厳しめだと思います。
理系は以下のリンク参照
https://stchopin.hatenablog.com/entry/2020/02/26/092520
第1問
3次関数とｘ軸で囲まれた領域が格子点を持つ条件を考える問題です。
条件1については問題ないでしょうが、条件２をどう考えるかが面倒です。
x=0で極大値となっているので、y軸上の格子点に注目すると、少なくとも極大値が2以下でないとダメですよね。このときのaの条件をまずは出します。
この条件を使うと、x座標が2以上になる格子点は入りようがないことがわかります。
ということでx=1となる格子点が入るか入らないかで場合分け といった具合に進みます。
※余談ですが、筆者は途中からbが正という条件を忘れてしまった結果、b=0の場合の考察を始めてしまいました。答案の前半（左半分）はb=0の場合の記述なので、本問では無意味です（涙）。皆さんも、問題文はちゃんと正しく読みましょう笑。
＜筆者の答案＞
第2問
5個の点の選び方を数える問題です。
まず、「選んだ点が乗らない直線」のことを「NGライン」と名前を付けて定義することにします。
そうなると、問題文の意味は
(1) NGラインがちょうど2本となる点の選び方 (2)NGラインが0本となる点の選び方
となります。
これらをMICEに数える（＝過不足なく という意味のビジネス用語です）のが難しい問題です。
(1)は、NGラインが「平行に2本ある」「垂直に2本ある」の場合分けで数えていきます。このときに、3本目のNGラインができないように数える必要があります。
(2)は、aやbの値が重複しないように4点先に取ってからもう1点選べば条件を満たしますので、その個数を数えましたが、他の場合がないのか、また先ほど数えたものに重複がないのかに関しては、正直私にも自信がありません。
＜筆者の答案＞
第3問
直線の通過領域と、正三角形の成立条件です。
(1)については、半直線OPを、P(t, t^2-2t+4)としたときのtの式で表し、その式をtの方程式とみなして、それがt>0を解に持つxとyの条件を求めるという、いわゆる「逆像法」がお馴染みの解法で、答案ではこちらを採用しています。
今回については別解として、「図形的に考えて、放物線と直線が接する時がMaxだ」とわかるのでその直線を求めてしまうというのもあります。
(2)が分かりにくいですね。
まず、Bの位置は、OP=OBになるようなBは、ｌ上にいつでもとることができるので、実質直線OPとｌのなす角を考えればよいことになります。
つまり、問題文の意味は、
「うまくAを選べば直線OPとｌのなす角が60°にできるような、aの値は？」ということになります。
tanなどを駆使して、不等式処理をしていくことになります。
＜筆者の答案＞
第4問
理系第4問と同じ問題なので、省略。文系でははっきり言って捨て問です。
(1)だけできれば十分です。
