この世の中に数多ある大学入試の過去問ですが、時に「珍問」と言えるような変わった問題が出題されることがあります。
その1つがこれです。
京都大学の1995年文系後期で出題された問題です。(1)はよくある証明問題ですが、(2)が非常に珍しい問いになってますね。
「好きな値を代入して、出てきた数があなたの得点です！！」っていう、自分で点数を決められる設問になってます。
とりあえず、思い思いの数字を入れてみてください。
このあと、重大なネタバレをするので、一度ノーヒントで試してから、この後の記事を読むことをオススメします。
（以下ネタバレ注意）
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「あれ？g(n)が0ばっかじゃねーか！」
きっとそう思ったと思います。
点数をできるだけ稼ぎたいので、当然g(n)の値を最大にしようと考えると思います。(1)の結果から、nが7以上を調べても意味がないと分かるのでn=0,1,2,3,4,5,6で調べたくなってきます。
ということで、nが小さい順に調べていくと、
g(0) = 3 f(7) =0
g(1) = 3 f(28) = 0
g(2) = 3 f(140) = 0
g(3) = 3 f(784) = 0
という感じに最初のうちは全部g(n)が0になって焦ってきます。。続けてやってみると、
g(4) = 3 f(4676) = 3 f(7×668) = 0
g(5) = 3 f(29008) = 3 f(7×4144) = 0
g(6) =3 f(184820) = 3 f(7×26402 +6) = 3×6 =18
となり、最後の候補のn=6にしてようやく0じゃない数になります。
ということで、この設問の得点は、nを6以下に限定すると、
・n=6のときだけ、18点
・nがそれ以外の時は、0点
という結果になります。
(1)の結果を使うとnが6以下のときだけ考えればよいと分かるのですが、使わずに合同式を使って考えると、実は、
nが6の倍数の時だけg(n) = 18、
nがそれ以外の時はg(n) = 0になる
というオチになります。
つまり、この小問の得点は、どうあがいても18点か0点にしかならず、当てずっぽうでnを選ぶと、1/6の確率でしか得点が入らないのです！！
この大問の配点が30点で小問が２つ、、、18点という点数はいかにもという感じですね。g(n)の式に入ってる不自然な3にはそんな意図が隠れていました。
京大らしい、周到に仕組まれた、とっても意地悪な問題でした。
最後に、筆者の答案を載せておきます※(2)だけ
