旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東京大学の2018年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東大理系数学 -2018年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
点と直線の距離、領域の包含関係を考察する問題です。(1)(2)は特に誘導形式にはなっていません。
(1)原点を通る接線の式を計算し、Aのx座標をaとして√L+√Mをaの式で表現しましょう。絶対値を外すにあたりaの値による場合分けが発生します。
(2) px+qy≦0の表す領域をEとすると、問題文の条件は、「DがEの中におさまっている」と言い換えることができます。よって、p,qの符号で場合分けしてそれぞれの場合にEがどうなっているかを逐一調べましょう。(1)で計算している接線の傾きも役に立つでしょう。
[追記]「px+qyをベクトル(p,q), (x,y)の内積だと解釈すれば、それが鈍角になる条件を求めればいい」という趣旨のコメントを頂いて大変感銘を受けました。それに基づいた別解を追加しました。
<筆者の回答>
(2)の別解です。
第2問
理系第2問との共通問題ですが、前半の小問が違います。(3)は理系の(2)と全く同じですが。
(1)a7を実際に計算してみましょう。
(2)an/an-1 を計算すると、約分によって式が簡単になります。よってその式が1より小さいかを不等式を解いて調べましょう。
(3) は理系(2)と全く同じなので、詳しくは理系の記事をご覧ください。
理系の記事では2通りの解法を紹介していますが、(2)の誘導から必然的に別解でない本答案での解法になると思います。
<筆者の回答>
第3問
理系第4問との共通問題です。文系の方には申し訳程度に(1)がついていますが、取るに足らないでしょう。
f(x)を微分して極値の位置と1の大小関係を比べればお終いです。
(2)は理系と全く同じなので、詳しくは理系の記事をご覧ください。
<筆者の回答>
第4問
点の軌跡、存在領域の面積を求める問題です。
(1) P(p,p^2)とすれば、Qの座標をpの式で表現できるので、最終的にpを消去すればよいです。ただし、x座標の範囲はちゃんと調べましょう。
(2) Rを固定したとき、Sは(1)で求めた軌跡をx方向に平行移動した曲線上を動くことが分かります。よって、Rを動かしてあげれば、Sの存在範囲は、(1)の曲線が通過した領域になります。
これをきちっと図示して面積を計算しましょう。
(余談ですが、理系第3問に登場する領域と酷似していますね）
<筆者の回答>
