旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では京都大学の2018年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の京大理系数学 -2018年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
放物線で囲まれた面積を求める問題です。
f(x) = |x^2 -1|, g(x)=x^2-2ax+2 とすると、x=x0で共通接線を持つ条件は、
f(x0)=g(x0)とf'(x0)=g'(x0)が同時に成立することです。絶対値を外すために|x0|と1との大小関係によって場合分けして、x0を求めましょう。
これによってC1, C2のグラフが描けるので、積分によって面積を計算できます。区間を1で分けて計算する必要があり、計算はそこそこ煩雑です。
<筆者の回答>
第2問
正方形を題材にした線分の長さを最小化する問題です。
(1) A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)となるように座標を設定すると見通しが良くなります。このときQ,Rの座標を∠BAPで表現することを目指しましょう。
(2) (1)の結果の分母がsin∠BAPの3次関数になるので、この3次関数の増減を考えればよいでしょう。
<筆者の回答>
第3問
理系第2問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
第4問
理系第6問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
この問題の(2)は理系でも超難問なので、文系の方は捨ててしまって構いません。
というか、この問題が文系でも出題されていた事実に驚きを隠せません。。。
第5問
確率の問題です。
いきなりXnは・・と考えると先が見えません。各小問にある、(n+2)(n-1)/2やn+1には何かしら意味があると推測して考えてみましょう。
(1) Xnが一番大きくなるような取り出し方を考えると、それは「0を引き続ける」となり、そのときXn = n(n+1)/2 となります。
ここで、この最大値から1を引いてみると、なんとこれが見事(n+2)(n-1)/2になります。
よって、「Xnが最大になる確率」+「Xnが最大値-1になる確率」で求めたい確率が求まることになるので、Xnが最大値-1になるような引き方を考えてあげればよいです。
(2) (1)の類推から、今度は「Xnが最小になる確率」+「Xnが最小値+1になる確率」ではないかと予想できます。
Xnが最小になる引き方は、「2回目以降は1を引き続ける」なのでXn= nとなりますので、実際にこの予想が正しいことが分かります。
<筆者の回答>
