旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では東北大学の1997年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の東北大理系数学 -1997年- - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
第1問
2次方程式の解と、2次関数の存在領域に関する問題です。
(1)解と係数の関係を使ってaとbの関係式を求めましょう。
(2)問題文を言い換えると、「y=x^2 +ax + b のグラフが全部2x+y≧0に収まっている」となるので、yを消去してできるxの2次不等式がxによらず成立するaの条件を求めましょう。
<筆者の回答>
第2問
（筆者注：(1)の右辺は、2×が必要）
三角関数の最大最小を考える問題です。
(1) 左辺をごり押しで計算すればよいでしょう。
(2) (1)のヒントがあるおかげで解きやすい問題になっています（理系範囲まで習うと直接θで微分できますが、それでも簡単ではありません）。
(1)の左辺の中身は合成できるので最大値と最小値を計算することができます。
(1)がない場合の別解としては、t=sinθ+cosθと変数変換するという方法もあります。
<筆者の回答>
第3問
2つの放物線の共通接線に関する問題です。
(1)それぞれ連立して、それが重解を持つことを確かめればOKです。
(2) 3曲線を図に描いて、面積を積分で計算すればよいでしょう。
<筆者の回答>
第4問(a)
確率と絡めた不等式評価の問題です。
n回投げて5以上が最低1回は出る確率pnは簡単に求めることができます。あとは、pn≧0.9995となるnを常用対数を取って計算しましょう。
<筆者の回答>
第4問(b)
フィボナッチ数列の一般項を求める問題です。
(1)解と係数の関係を使って、xnの漸化式を作りましょう。
(2) (1)でa=-1, b=-1とした場合なので、α,βを具体的に計算できます。あとは初期条件x0,x1の値からp,qを計算すればOKです。「xn=を示せ」でなくても「xnを求めよ」で十分な難易度でしょう。
<筆者の回答>
