旧帝大の文系向けの過去問を取り上げます。理系との共通問題は理系の記事を参照して頂くこととし、基本は文系ユニークの問題のみ取り上げます。
この記事では名古屋大学の2018年の問題を取り上げます。
理系の記事はこちら↓
平成の名古屋大理系数学 -2018年- - ちょぴん先生の数学部屋
第1問
領域に関する問題です。
(1) 先に3x+2y+4≧0, x-2y+4≧0を満たす領域をDとして、Dを図示してあげます。Dを直線ax+by=0で切った時に三角形を切り取るようなa,bの条件を求めることになるので、傾きに注意して、図形的に考察してあげましょう。
(2)三角形の面積を計算するのですが、かなり計算が大変になるので少しでも工夫したいところです。答案ではx軸平行に底辺を取って、上下の高さを考えるという方法で計算しています。
(3) (2)の結果がS=4×(a,bの式)の形をしているので、(a,bの式)≧1を言えればよいです。
<筆者の回答>
第2問
整数問題です。誘導が絶妙な良問です。
(1) 対称性からαを奇数として固定しても一般性を失いません。すると、与式が
奇数+偶数になっていることに気付きます。
(2) (1)の結果から、与式が偶数になるにはαとβが両方偶数でないといけないと分かりますが、このときは与式が必ず4の倍数になることが分かります。
(3)は、一見すると(2)までとは無関係の問題に見えます。
今、3次方程式が整数解x=mを持っていると仮定すると、c=2018m -m^3と求まります。この時に、3次方程式がm以外の整数解を持っているかどうかを調べます。
すると因数分解により、実質x^2+mx+m^2 = 2018が整数解を持つか否かを検討する問題に化けますが、左辺が(1)(2)の形をしていることに気が付くはずです。そして、2018は4で割り切れない偶数です。よって、(2)の結果から、この2次方程式に整数解は存在しない、と言えてしまい、結局、元の3次方程式にはm以外の整数解がないと言えてしまうわけです。
この見事な伏線回収に感動しました。。。
<筆者の回答>
第3問
理系第4問との共通問題です。詳しくは理系の記事をご覧ください。
